问题探究中提升学习力的策略研究

英国教育学家罗素曾说过：“一切学科本质上应该从心智启迪开始，教学语言应当是引火线、冲击波、兴奋剂，要有撩人心智、激人思维的功效。”“好的情景设计”，往往具有“抛砖引玉”之功效，使学生兴趣浓厚，学生的能动性增强，会让我们的课堂焕发出生命的活力。一节课收获的“玉”就是要“达成学习目标”，即获得新知和解决问题的策略，而“引玉”的关键在于要有良好的“砖”，这些“砖”不仅可以是引入新课的情景设计，也可以是为“较难的问题”设置的具有可操作性的“台阶”。在平时的教学中，如果教师能精心设计教学情景， 采用“问题式”教学，就能迅速吊起学生的“胃口”，从而调动学生学习的积极性。“一节课的重点、难点内容”如果直接由教师和盘托出，学生全盘接受，不但容易遗忘，学生也不会珍视它；如果老师能通过情景设问等方式先“抛砖”，带领学生一起探究，那么学生就会兴致盎然，充满了对“新知”的渴望，而生成的思维、创造的火花就是弥足珍贵的“玉”的所在，学生对生成的“玉”也会加倍珍惜和重视。我们湖塘实验中学践行的自主学习型课堂就是提倡“以学定教”，教师根据学生课前自主学习的情况收集问题，课堂上针对学生的困惑展开教学，有的放矢，学生则带着预习过程中遇到的问题听课，由于他们迫切地要解决问题，所以注意力也会高度集中，这样的教学设计既符合孔子“不愤不启，不悱不发”的教育理念，也体现了“抛砖引玉”的精妙之处。

《新课程标准》规定的课程目标指出让学生初步学会在具体的情景中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。作为一线的数学教师，要培养学生的问题意识，首先自己得具备问题意识，根据不同的教学内容、教学要求和学情的不同，选择有利于学生学习的有效情景作为“砖”，这些“砖”不但可以源于现实生活和其他学科，还可以源于数学知识内部本身，然后营造有利于学生提出问题、敢于质疑、反思的课堂环境，并切实鼓励和引导学生用数学的思维方式思考、提出问题，从而引出“玉”来。

数学来源于生活，又服务于生活。数学学习就是要让学生认识到在现实世界中蕴含着大量的数学问题，教师在教学中要帮助学生认识数学与生活的密切联系，比如教材中的每一章节提供的现实情景，以及现实生活中一些有趣的、富有挑战性的学习素材等等都是教师手中的“砖”。在课堂教学中,教师依据学生原有的知识储备精心设计，抛出有效的“砖”，让学生进行主动思考，形成“头脑风暴”，给学生展示学习成果的平台，通过小组合作等方式进行思维碰撞，必将引出高质量的“玉”，顺利完成学习目标，打造出高效自主学习型课堂。

教师如能在数学课中灵活运用好“抛砖引玉”这一谋略，那么一定能培养学生在现实生活中学习数学、发展数学的意识，提升学生观察、分析、探究问题的能力，学生的学习将会更有成效，更具有创造性。

【案例】

师：同学们，今天我们主要探究“线段和差的最值问题”（板书课题），通过课前自主学习，同学们都提出了自己的困惑，老师将展示其中的三个问题，和大家一起探讨。

问题1：  已知直线l外有两定点A、B，直线上有一动点P，连接PA、PB，则两条线段（PA、PB）之差有无最小值？

生1：当点P在线段AB的垂直平分线上时，有PA=PB，所以两条线段之差有最小值为0；

生2：老师，我觉得没有最小值，因为差会出现负数；

生3：如果在两条线段之差上加个绝对值，那么就有最小值0了；

生4：我认为这里要分类：分两定点“在直线同侧”和“在直线异侧”两种情况考虑；

生5：两定点在直线同侧和两定点在直线异侧，两种情况下的线段之差的最小值都是0，只要AB的中垂线与直线l相交就行了。

师：（教师借助几何画板展示图1）同学们考虑得很全面，回答很精彩！其实不论两个定点A、B在定直线l同侧还是异侧（利用画板将点A拖到直线l的下方），线段之差的绝对值的最小值都为0．那么两线段之和有无最大值呢？

生：线段之和没有最大值，因为点P在直线上可以移动到很远的地方。

         图1                        图2                     图3

师：根据刚才的探究，我们发现“两条线段之差（绝对值）的最小值为0、线段和的最大值不存在”，因此我们只需要“研究”“线段差最大值”与“线段和最小值”，但是部分同学还存在以下困惑（展示问题2），同桌可以互相讨论，给大家2分钟时间。

问题2：不理解“线段差最大值”与“线段和最小值”存在的原因？

生：两定点在直线同侧时，当点P在线段BA的延长线上时（教师展示图2），两条线段之差有最大值AB，依据是三角形两边之差小于第三边。

（教师板书：，当点P、A、B三点共线时等号成立）

作点A关于直线l的对称点A’，当点P在A’B连线上时（如图3），PA+PB和最小，依据是三角形的两边之和大于第三边（即两点之间线段最短），这是我们熟悉的“将军饮马”基本模型了。

师追问：如果两个定点在直线两侧呢？

生：如果两个定点在直线两侧时，根据两点之间线段最短，可知PA+PB的最小值就是AB，如果要求的最大值就要利用轴对称把问题转化为直线同侧的问题来解决了。

问题3：在两动一定的问题中，两个动点应选哪个动点看作定点？

生：我觉得应该选拐弯处的点看成动点，其它的点看成定点。

师：不错，如果是PA+PB型，那么两条线段的“公共点P”就可以看作动点，点A、B看成定点.那么，哪位同学来归纳一下，对于“两定（点A、B）一动（点P）型”，当两定点在定直线同侧或异侧时，分别可以求得哪种最值？依据是什么？

生：当两定点在定直线同侧时，则“线段差最大值”为AB；当两定点在定直线两侧时，则“线段和最小值”为AB，依据“三角形的三边关系”或“两点之间线段最短”。

师：同学们说得都很好，其实我们也可以通过轴对称，将“定直线同侧两定点问题”与“定直线异侧两定点问题”相互转化，然后求得相应的最值.对于 “两动一定型”的问题我们可以通过“化动为静”，将它转化为“两定一动型”问题来处理．下面请同学们利用所学的知识尝试解决两个练习:

练习（1）点A、B均在由面积为1的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则＝     。

第（1）题                  第（2）题  

（2）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，BC= ，BD是三角形的角平分线，点E、F分别是BD和BC上的动点，则CE+EF的最小值是         。

【学生活动】学生争取在5分钟之内独立完成2个题目，并自行校对批改。

师：同学们的准确率还是不错的，第（2）题需要化动为静，转化为饮马问题，再运用垂线段最短的性质求最值，做到满分的同学都很了不起呢，下面大家一起来尝试挑战一道老师改编的题目：

挑战题：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x²+3x+4与y轴交于A，矩形AOBC的顶点B在x轴上，顶点C在抛物线上，点D为边OA的中点。

（1）若点E为边OB上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若一个动点P自OA的中点D出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标分别为：E（       ）、F（         ），并求出这个最短总路径的长为　       ；

（3）若E、F为边OB上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

图1                 备用图               备用图

师：第（1）小问由于CD是定边，问题就可以转化为求两条线段和最小的经典问题了，同学们完成得不错，第（2）、（3）问有部分同学感觉有困难，下面请同学们以小组为单位，根据老师提供的思路进行小组合作，集思广益，5分钟后，派小组代表交流展示。

【小组合作要求】：

1. 明确问题中的定点与动点，定线段与动线段，抓住哪些是变中不变的元素？

2. 对于多条线段和的最小值问题，可以抽象或者转化为怎样的数学模型？

生：第（2）小问的路径是三条动线段求和问题（如图2），题中涉及两动点，可以采用化动为静的方法，看成是两个“将军饮马基本模型”的叠加（图3、图4），可以通过两次轴对称变换解决（如图5）。

     图2                   图3                   图4                  图5

生：问题（3）要使四边形CDEF的周长最小（如图6），注意到DC、EF的长为定值，故只需DE+CF最小，与“将军饮马基本模型”不一样，就是两条动线段DE、CF不共顶点，没法直接用轴对称解决，于是采用“平移”的方法，可以将线段CF向左平移2单位长（图7），点E就是公共顶点，作定点D的对称点D’（图8），线段C’D’与x轴的交点即为点E的位置，或者也可以将线段DE向右平移2个单位长（如图9），从而解决问题。

图6                   图7                   图8                  图9

师：你还能在此基础上再编出第（4）问吗？

生：在x轴上找点P，使得的值最大，点P的坐标是______         。

师：谁来说说求点P的思路？

生：只要求出直线CD与x轴交点，就是所求的P点了。

师：今天同学们表现都不错！这节课我们主要学习了线段和差最值问题的两种基本模型，并能运用它们来解决问题，特别是多动点的问题要转化为我们熟悉的“两定一动”模型来解决，下面我们通过检测来看看你学得怎样！

检测题（10分钟，在课堂上完成，满分20分，思考题10分是附加分）                              

1.（5分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是　　　　。

第1题             第2题                第3题               第4题

2. （5分）如图，已知两点A，B在直线l的异侧，A到直线l的距离AM=4，B到直线l的距离BN=1，MN=4，点P在直线l上运动，则的最大值是___________。

3. （5分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90⁰，BC=2，B是三角形的角的平分线，点E、F是BD和BC上的动点，则CE+EF的最小值是___________。

4．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=　　      时，四边形APQE的周长最小。

思考：（10分）如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，

若∠AOB=45°，OP=，则△PMN的周长的最小值为　      　。

【分析】

自主学习型课堂教学模式是对传统课堂教学模式的革新，突出学生的主体地位，重视学生自主学习能力的培养，增强学生的可持续发展能力。上面的案例体现了我校“自主学习型课堂”的教学模式，以“尝试教学思想” 为指导，以“教学案”为载体，先学后教、先思后议、先测后评，以学生为主体，以自主学习方式为抓手，以实现学生学习力提升为目的的数学课堂。

著名教育数学家波利亚曾说问题是数学的“心脏”，由此可见数学问题具有举足轻重的地位。学生能提出数学问题比解决数学问题更有现实意义，怎样才能培养学生的“问题意识”，把老师提问变成学生提问，把学生的被动思考变成主动思考呢？

1.抛“学生困惑”之砖

课前自主学习时学生在学案上就记录了自己的困惑，那么教师在课堂伊始就可以根据学生的学情“以学定教”，选择较简单的、开放式的问题作为“砖”抛给学生，让学生自由发挥。就如案例中“问题1 ”，学生各抒己见，积极主动地参与到问题解决过程中来，学生的解题热情和真知灼见就似“玉”一样被激发出来，还有学生不断地补充，对“玉”进行打磨，最终把老师要教授给学生的知识点呈现了出来。

在课堂上，老师在课堂管理时要给学生充分思考的时间，当答案不完备时，给学生自我完善的机会，对“玉”进行“手工打磨”，做工更精细；而不是直接告诉学生结果，进行“机器打磨”。老师的几处“追问”其实都是学生自主学习过程中遇到的困惑，老师站在学生的角度上不停追问，把这些“砖”巧妙地、适时地抛出来， 既培养了学生的质疑精神，也培养了学生的主人翁精神，这些精神如“玉”般可贵，有助于学生“学习品质”的提升。

2.抛“促进思维”之砖

对于“问题2、问题3”，学习能力强的同学课前就已经知道数学原理了，需要有鉴别能力和理解力，因为这里有两种不同的数学模型。通过小组合作的方式让“学会”的同学教“不会”的同学，可以锻炼学生的表达能力和思辨能力，也符合戴尔提出的“学习金字塔”理论，通过“团队学习、主动学习、参与学习”，有助于学生进行深度思考，思维不断地提升，从而得到了有价值的“玉”，既把学生课前的问题逐一破解，同时也提升了学生的自主学习能力。

“引玉”的过程可以由学先独立思考，然后通过小组合作探究，教师就充当“助产士”，在一旁进行课堂管理，适当引导和鼓励学生，与学生一起探索和解决数学问题，等待着“玉”的产出。教师要学会“抛砖”，信任学生，并大胆放手，从而激发学生参与解决数学问题的勇气和决心，从而得到“好玉”。

3.抛“挑战问题”之砖

新课程提倡的“问题解决”要求教师精心设计问题、引导学生解决问题，对学生进行创新思维训练和创新能力的培养。案例中我设计的“挑战题”是根据中考题改编的，利用了“抛砖引玉”的策略，三个小问是针对不同层次学生三块的“砖”，层层递进，需要学生具有“数学的慧眼”，发现题目中隐含的“数学模型”，掌握数学“转化的思想”以及“模型的思想”，解题能力有了“玉”的提升。在解决了三个小问的基础上，老师进一步追问：你还能在此基础上编出第（4）问吗？通过让学生编题，又引出了创造性的“玉”，使学生的创造力、学习力也有所提升。

基于学生问题的课堂才是有效的课堂，要提高学生的创新精神就必须激发学生大胆地质疑，让学生带着问题进入课堂，解决问题后离开课堂。教师在课堂上若能很好的运用“抛砖引玉”这一策略，适时地抛出引人入题的“砖”，让学生进行深度思考，必能激发学生的兴趣和对课堂内容的求知欲，能开发学生的潜能，培养学生的创新精神，从而引出优质“玉”，让课堂真正成为高效课堂！