“圆”中的实用结论与公式

圆是最完美的平面图形，在”对称图形-圆”这一章中我们学习了等对等定理，垂径定理,圆周角定理,这些定理能够帮助我们解决绝大部分问题,当然这一章中还有一些我们不知道但是非常实用的结论及公式.

1.圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角.

如图1，以BC为直径的圆上有一点A（异于 B,C两点），那么∠BAC=90°.

由此猜想：如果点A在圆内（或圆外），那么∠BAC的大小又会怎样呢？ 

图1           图2            图3

①当点A在圆内时（如图2）:

延长BA与圆交于点D，连接CD.

∵BC为直径,

∴∠BDC=90°,

∵∠BAC为的外角,

∴∠BAC=∠D+∠ACD,

∴∠BAC=90°+∠ACD90°,

∴∠BAC为钝角.

②当点A在圆外时（如图3）

连接BA并延长与圆交于点D，连接CD.

∵BC为直径,

∴∠BDC=90°,

∵∠BDC为的外角,

∴∠BDC=∠A+∠ACD,

∴∠A=90°-∠ACD90°,

∴∠BAC为锐角.

由此我们可以得出如下结论：

如果点A（异于B,C两点）在以BC为直径的圆上，则∠BAC=90°；

如果点A（不在线段BC上）在以BC为直径的圆内，则∠BAC90°；

如果点A（不在直线BC上）在以BC为直径的圆外，则∠BAC90°.

例1：如图4，在平面直角坐标系中，以A（2，0）为圆心，2为半径的圆与x轴交于O,C两点，过O点的直线l与圆交于B（2，2），问：

直线l上能否找到点D（m，m）

图4        使得∠ODC为钝角，写出m的取值范围                .

【解析】根据上述结论，要使得∠ODC为钝角，那么点D必须在圆A内部且在直线l上，即D点在O点和B点之间（不包括O,B两点）.所以，0<m<2.

2.圆中还有一些实用的公式

例2：如图5，的周长为21，面积为48，求它的内切圆的半径.

            图5              图6

【解析】如图6，连接OA,OB,OC,OE,OF,OG（以上的辅助线，我们可以把原的面积分成，，三个三角形面积之和）

      设内切圆半径为r,原的面积为S，周长为C.

  答：内切圆半径为4.

【点评】其实这种方法也可以推广到任意三角形中，我们可以把它当作求一般三角形内切圆半径的公式，即（其中S表示三角形面积，C表示三角形周长，r表示三角形的内切圆半径）.

在求直角三角形内切圆半径时我们往往还会利用下面的公式.

例3：如图7，在中，，AC=4,BC=3，求出的内切圆半径.

图7                     图8

【解析】连接OE,OF,OG

设内切圆半径为r

,

,

又,

,

,

,     

,

由切线长定理可知AE=AG,BF=BG,

,

,

,

.

【点评】这种求内切圆半径的方法我们可以推广到任意直角三角形如图8, 在中，,的内切圆半径.

3.圆不仅仅是问题的背景，也经常被用来作为解决问题的辅助工具.

例4  如图9，四边形ABCD中，，且,求BD的长.

         图9                图10

【解析】因为题中给出了，所以以A为圆心，AB长为半径构造圆A（如图10），那么圆A一定经过B,C,D三点，延长BA交圆A于点E，连接ED，易得BC=DE.

∵BE为直径,

∴∠BDE=90°,

又∵BE=10,DE=,

∴BD=9.

【点评】这道题看似与圆无关，但是恰当的构造圆这个图形加以辅助，就使得这个问题简单化，从而快速的解决问题.

例5：如图11，已知三个顶点都在格点上，求的值.

       图11                  图12

【解析】如图12在网格中利用三角形外接圆的知识确定的外接圆圆心O，由圆周角定理可知，弧AB所对的圆周角是圆心角的一半，即，所以.

【点评】网格图中求一个角的三角函数值我们有多种方法，可以构造直角三角形，也可以面积法解决，这里我们介绍的是利用三角形外接圆的知识来转移要求的.

对称图形-圆是初中数学重要组成部分，也是我们解决相关问题的重要工具.以上我们总结了圆中一些比较实用的结论和三角形内切圆半径的一些公式，同时我们也认识到了对待一些看似与圆无关的题目，有时候构造恰当的圆加以辅助，往往可以使问题简单化，从而更快的解决问题.