数据的集中趋势与离散程度知识梳理及典型问题

          薛飞 湖塘实验中学 213161 xuefei20052008@{域名已经过期} 13813517153

《数据的集中趋势与离散程度》这一章中我们主要学习了体现数据集中趋势的三种“数”----平均数、中位数以及众数；体现数据离散程度的两种“差”----极差与方差.

【一】平均数：平均数分“算术平均数”与“加权平均数”.前者较简单，本文不做研究.我们重点理解加权平均数.加权平均数重在理解什么是“权”.课本中是这样定义“权”的：一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据的“重要程度”的数值叫做“权”.有些同学对于课本给出“权”的定义不能很好的理解，在遇到题中没有明确指出哪组数据是“权”的时候，就会无从下手.所以确定哪一组数据是“权”就成了问题的关键.

不妨这样理解：任何题目都会给出两组数据，一组数据是题目研究的对象（题目最后一般都会指出）；另一组数据则是相应的“权”.确定了研究的数据对象也就确定了“权”.

     例1：学校食堂午餐供应3元、4元和5元三种价格的盒饭，根据食堂某月销售午餐盒饭的统计图，计算该月食堂销售午餐盒饭的平均价格.

    分析：这个题目给出的两组数据分别是：?午餐盒饭的价格3元、4元和5元；?不同价格的盒饭所占的比例.题目最后要求的是午餐盒饭的平均价格，也就是说第?组数据是题目研究的数据对象，所以第?组数据盒饭所占的比例是“权”.

解：该月食堂销售午餐盒饭的平均价格为

    答：该月食堂销售的午餐盒饭的平均价格为3.9元.

    例2：某校九年级甲班50名学生的年龄情况如下：（单位：岁）

求这个班级学生年龄的平均数.

    分析：两组数据分别是年龄和人数.根据题目最后的问题，我们研究的数据是年龄的平均数，所以年龄是研究的数据对象，人数就是相应的“权”.

    解：这个班级学生年龄的平均数为

    答：这个班级学生年龄的平均数为15.44岁.

    【点评】只有正确找出数据中的“权”，才能利用公式准确的求出加权平均数.

    【二】中位数：求中位数的一般步骤：①把数据从小到大排列;②若该数据含有奇数个数，位于中间位置的数是中位数；若该数据含有偶数个数，位于中间两个数的平均数就是中位数.

    例3：?有奇数个数据10，20，80，40，30，90，50，40，50，40，60，求这一组数据的中位数.

    分析：把这组数据按从小到大的顺序排列10、20、30、40、40、40、50、50、60、80、90,该数据含有奇数个数，位于中间位置的数是中位数，所以该组数据的中位数为40.

?一组数据分别为1，2，8，4，3，9，5，4，5，6，求这组数据的中位数.

    分析：首先把这组数据按从小到大的顺序排列1，2，3，4，4，5，5，6，8，9，该组数据共有10个，所以第5个和第6个数据的平均数4.5为中位数.

    【点评】中位数的求法一定要注意先排序，后根据总数的奇偶来找出中位数,从例3的?中可以看出中位数4.5并不是原始数据，所以中位数也不一定是原始数据中的一个.

    【三】众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.众数可以没有，可以只有一个，也可以有多个.例如：3，4，5，6，7这组数据中就没有众数. 3，3，4，5，5，6，7这一组数据中众数就有两个3和5.关于众数也有易错题.

    例4：如图，一次数学测验后，老师将全班40名学生的成绩整理后绘制成频数分布直方图，判断下列命题正确的是       .

?全班成绩的中位数在84~96这一组；

?全班成绩的众数在84~96这一组.

分析：命题?正确，命题?在判断众数的时候往往会掉入陷阱，学生看到84~96这一组最高，

所以众数确定就在这一组。举个反例便知错在哪里：84~96之间一共是12人，其中84分，85分，86分，87分各3人，而72~84这一组中的9人分数都是80分，显然全班成绩的众数不在84~96这一组，所以这题正确的只有命题?.

    【点评】众数概念较为简单，但也要注意这种在频数分布直方图中出现的众数问题.

    【四】极差：极差概念简单，通俗的说就是最大数据与最小数据的差，反映了一组数据的变化范围.

例5：某位射击运动员射击5环分别为6，7，9，10，8，求极差.

    分析：找出最大值和最小值即可，最大值为10环，最小值为6环，所以极差为10-6=4.

    【五】方差：描述一组数据的离散程度还有方差，方差的计算公式：

    例6：为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：甲：8，7，10，7，8；乙：9，5，10，9，7.

（1）将下表填写完整：

（2）根据以上信息，若你是教练，选择谁参加射击比赛，理由是什么？

（3）若乙再射击一次，命中8环，则乙这6次射击成绩的方差会        .(填变大或变小或不变)

分析：通过计算得出甲乙两人的平均数都是8环，但是甲的极差比乙小，更重要的是甲的方差也比乙小，方差越小越稳定，所以教练会选择发挥较为稳定的甲参加比赛，第（3）问的解决需要用到方差的计算公式，原来5次射击的方差是这样计算的

增加一次8环的射击后，方差计算变成                                         

不难发现分子虽然增加了一项，但是分子的值并没有变化，但是分母却变大了，所以分子不变，分母变大，最终方差变小.

    【点评】重点理解方差的计算公式，有些题目的解决往往从公式入手较为方便.

    从上述几种类型中我们可以看出数据的集中趋势与离散程度有哪些常见的考点.而解决这些考点需要我们认真理解平均数、中位数、众数、极差、方差等的意义及公式，这是解决问题的前提.