设计理念：

在近几年各地中考中，几何最值问题屡屡受到命题者关注，此类问题不仅涉及平面几何的基础知识，还涉及几何图形的性质、平面直角坐标系、方程与不等式、函数知识等。因此一批立意新颖、构造精巧、考点突出的新题、活题脱颖而出。这类试题较好地考查了同学们的几何探究、推理能力的要求及数学思想方法的运用。“最值”问题大都归于两类基本模型：

Ⅰ、函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值

Ⅱ、几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”、“垂线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

本节课主要研究几何模型，以近几年的全国各地的中考题为载体，提炼出两种常见的 “线段和最小”、“差最大”的基本模型，对同学们的解题能力和数学素养的提升会有所帮助。本节课以教学案为我体，按照自主学习型课堂359模式的要求，在学生充分自主学习基出上，发现问题、解决问题。充分体现以学生为主体，思维为主攻，探究为主线的理念。

学习目标:

1、熟练的掌握与最值有关的数学问题的解题方法与策略。 

2、培养学生合作探究的学习方法，培养让学生自我发现问题，总结问题的能力。

教学重点:熟悉与最值有关的数学问题的解题方法。

教学难点：理解并掌握与最值有关问题的解题方法与策略。

教学手段：可以通过几何画板动态演示变化的过程，感受最值取得的位置，使学生经历由感性上升到理性，定性到定量的研究过程。

教学过程：

一、自主研读初步学（40分钟）

（一）方法指导：平面几何中“线段和”以及（线段差）最值问题常见的类型有：线段和最小；线段差最大.常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理求最值；   （2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用三角形的三边关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

（二）线段和的最小值问题——“将军饮马”型

1. 将军饮马之“两定一动型”

阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题：如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B 的值最小．这是为什么呢？如图3，在直线l上任取一点P′，则P′A+ P′B= P′A′+P′B，在△P′A′B中，P′A′+P′B>A′B，即P′A+ P′B>PA+PB，所以最短路线为A′B，点P为所选的饮马点（即最值点）。

【设计意图】饮马问题是典型的模型，既有趣味性，也有很重要的现实意义，比如生活中的铺水管问题，有异曲同工之妙，让学生体会数来源于生活，又服务于生活，人人都能学有价值的数学。另外，学生已有轴对称的知识储备，对于解决方案有自学的能力，有助于应用所学的知识解决问题。

牛刀小试

1.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值______．

第1题               第2题                   第3题                  第4题   

2.如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为　   　．

3.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为____________________.

4.如图，已知MN是⊙O直径上，MN=2,点A在⊙O上，∠AMN=30⁰,B是弧AN的中点，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值是           ．

【设计意图】练习的设计关注到了知识应用的不同背景，有正方形、菱形、圆等具有轴对称性的图形，在找到最短路径以后，还涉及到怎么求线段的长度，这就要求学生熟练运用几何图形的性质，才能最终解决问题，第3题涉及到平面直角坐标系， 学生还要具备求平面内两点间距离的知识储备.题目由易到难，有一定梯度。

2.将军饮马之“两动一定型”

如图4，锐角△ABC的边AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________．

【分析】本题中有两个动点，一个定点，与典型的“两定一动”饮马模型不一样，如果将点N看成“定点”，就可以将问题转化为熟悉的模型了，如图5，作出定点B的对称点B’（根据角平分线条件，可知点B’恰好落在AC上且点B’也为定点），则AB’=AB=4，于是就变成定点B’经过点M,到达AB上的点N的最短路径问题了，可以用“垂线段最短”来解决，如图6，线段B’N的长即为所求.

【设计意图】碰到多动点问题，我们可以化动为静，将问题转化为我们熟悉的模型，然后通过“点线距离”顺利解决问题，让学生体会类比和转化的思想.

牛刀小试

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是______________.

第1题                         第2题                             第3题

2.如图，在△ABC中，AC=6，∠BAC=22.5°，M、N分别是射线AB和AC上的动点，则CM+MN的最小值是         .

思考：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为_____________.

【设计意图】前两个小题是同类型的题目，第3小题中有三个动点，需要学生灵活运用所学，供学有余力的学生探究，为课内的问题探究做铺垫，同时也体现了分层教学的思想。

（三）线段差的最大值问题

1.已知：如图4，在直线 l同侧有A、B两点，在直线l上找一点P，使得最大.

【分析】这是两线段差的最大值问题，首先连接BA并延长，如图5，交直线l 于点P，此时PB-PA最大.为什么呢？类似地，在直线上任取另一点P^，，利用“三角形两边之差小于第三边”，，即，说明P就是使得PB-PA最大的位置.当P、A、B共线时，点P即为最大的位置。

2.如图6，已知：在直线 l异侧有A、B两点，在直线上找一点P，使得 最大.

【分析】首先这是线段差最大的问题，上一题两点在直线同侧时可以找到点p，那么就可以利用轴对称的知识把直线异侧两点的问题转化成直线同侧两点的问题.

尝试解决：请在上图中找出点P，保留作图过程.

【设计意图】通过直线同侧两定点的线段差最大问题的解决，让学生尝试解决直线异侧两点的线段差最大问题，体现了数学的“转化”的思想方法，有助于思维的提升。有助于提升学生对两种模型的辨识度，即“直线同侧两点和最小”与“直线异侧两点差最大”都要通过对称来解决，找到最值点。

牛刀小试

1．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为　   　．

2．在平面直角坐标系中，已知点A（O，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点的距离之差的绝对值最大时，该点记为点P₁，当点P到A、B两点的距离之和最小时，该点记为点P₂，以P₁P₂为边长的正方形的面积为（　　）

A．1                          B．                          C．                       D．5

【设计意图】线段差最大在试题中出现的频率较少，所以只给出两题，第2题是两种模型共用，有助于学生注意两种模型的区分，避免混淆．

二、合作探究深化学（35分钟）

 (一)检查与建构（10分钟）

1.交流自主学习中存在的问题或困惑

【教生活动】根据学生提出的困惑有针对性地解决学生提出的问题.约2分钟

2. 尝试解决：

（1）点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则＝　　　　．

                       第（1）题                         第（2）题 

（2）如图，在矩形ABCD中，AB=20,BC=10,在AC、AB上各取一点M、N,使得BM+MN有最小值，则最小值为　　　　．

【学生活动】学生提出课前自主学习中的疑问.

【学生活动】学生争取在5分钟之内独立完成2个题目，并自行校对批改.

【教师活动】教师巡视，发现有困难的学生进行个别指导，完成答案校对.引导学生归纳判断线段和与线段差的最值点确定的依据，及具体的操作步骤，安排时间3分钟.

【设计意图】第1小题是在相同的背景下同时研究线段和、差的最值问题，有助于发现问题本质，感受两种模型相对应的不同的解题策略，第2小题是“两动一定”型，饮马问题，需要转化为“两定一动型”，再进一步转化为“垂线段最短”问题，这种“化动为静”及转化的策略对于多动点问题显得尤其重要。两个小题既是对自主学习的检测，也有助于学生自主建构知识模块，体会求线段和差最值的常用方法和解题策略，有助于提升学习能力，增强学生学习的信心.

(二)深度探究（25分钟）

问题：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x²+3x+4与y轴交于A，矩形AOBC的顶点B在x轴上，顶点C在抛物线上，点D为边OA的中点.

（1）若点E为边OB上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若一个动点P自OA的中点D出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标分别为：

E（       ）、F（         ），并求出这个最短总路径的长为　       ；

（3）若E、F为边OB上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

【学生活动】首先学生独立完成，时间约15分钟，其次小组交流，小组成员共同参与，积极交流，时间约3分钟，最后小组代表上台展示，时间约5分钟.

【教师活动】教师巡视，发现学生有较大困难，可组织学生针对问题小组交流，培养学生互助协作的精神，组织学生归纳提炼，掌握方法，并适时点拨（约2分钟），特别是对于第（2）问、第（3）小问，可以借助几何画板动态演示，帮助学生化解难点，把握问题本质.

【设计意图】本题是我根据2010年天津的中考题改编来的，每一小题一个类型的将军饮马问题变式，其中第（1）小问求三角形周长最小，由于CD是定边，问题就可以转化为求两条线段和最小的经典问题了，第（2）小问的路径是三条动线段求和问题，涉及到两动点，可以化动为静，看成是两个“将军饮马基本模型”的叠加，通过两次对称变换解决，而问题（3）要使四边形CDEF的周长最小，注意到DC、EF的长为定值，故只需DE+CF最小，与“将军饮马基本模型”不一样处就是长度变化的两条动线段DE、CF不共顶点，没法直接用轴对称解决，于是采用“平移”的方法，设法将DE、CF移到一个顶点处，将问题转化为熟悉的模型，从而解决问题.

三、检测总结巩固学（10分钟）                              

1.如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是　　　　。

第1题                   第2题                  第3题                第3题

2.如图，已知两点A，B在直线l的异侧，A到直线l的距离AM=4，B到直线l的距离BN=1，MN=4，点P在直线l上运动，则的最大值是___________．

3.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90⁰，BC=2，B是三角形的角的平分线，点E、F是BD和BC上的动点，则CE+EF的最小值是___________．

4．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=　　时，四边形APQE的周长最小．

思考5. 如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，

若∠AOB=45°，OP=，则△PMN的周长的最小值为　      　．

【学生活动】学生独立完成1-4题，时间10分钟，对于学有余力的学生可以完成第5小题.

【教师活动】教师巡视，检查批阅，对于有困难的个别学生及时辅导，坚持堂堂清.

【设计意图】通过当堂检测进一步巩固新知，使学生学会辨别两种不同的模型，在不同背景下提取本质，并用相应的策略解决问题。针对学生素质差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，使得每一位学生在数学学习上都有所收获.