【摘要】：学习力是伴随一个人终身发展的能力，是衡量一个人综合素质和竞争能力高低的尺度，被视为现代人基础性的文化素质，提升学生学习力是促进学生发展的有效途径。作为教育任务的数学，正如《新课程标准》所表述的：数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识和技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。本文就通过借助相对运动，巧解数学问题，来谈谈如何提升学生的学习力。

【关键词】：相对运动、学习力、运动型问题

  学习力是指学生在学习过程中为了掌握和灵活运用所学的知识与技能所应具备的各种能力的总和，包括学习动力、学习毅力和学习能力等。学习力是伴随一个人终身发展的能力，是衡量一个人综合素质和竞争能力高低的尺度，被视为现代人基础性的文化素质。提升学生学习力是促进学生发展的有效途径，本文就通过借助相对运动，巧解数学问题，来谈谈如何提升学生的学习力。

新课程改革倡导培养学生的实践能力和创新精神，而运动型试题所考查的知识与能力恰能很好地体现课改精神，如图形的三种变换（平移、旋转、翻折），以运动变换为载体来设计试题，具有背景新颖、题材丰富、可操作性强等特点，是新课程中考的压轴题热点之一。我们知道，世界上任何物体都是在运动的，运动是绝对的，静止是相对的。所谓运动的相对性是在研究物体运动时，把某个物体看作静止的，来研究其他物体相对这个物体的位置关系，这就是运动的相对性，例如当对象A相对于静止的对象B运动时，也可视为对象B相对于静止的对象A运动．运动的这种相对性，在数学解题中具有化繁为简、化难为易的功效．现举例如下：

例1：如图1，已知R△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，Rt△ABC的直角边AC可以在直线l上左右移动，平面内一点O到直线l的距离为6，则OA+OB的最小值是_____.

【解析】：由题意可知，点O是定点，Rt△ABC的直角边AC在直线l上左右移动，则线段OA、OB的长度都在变化，两条动线段的和最小问题往往会使我们联想到中学数学中常见的“将军饮马问题”模型，但将军饮马问题是“定直线同侧的两定点和定直线上一动点的连线段的和最小问题”。于是我们可以考虑换个角度看本题，本来是点O不动，△ABC相对于定点O作左右平移运动，那我们也可以看成是△ABC不动，点O相对于△ABC作左右平移运动，即点O沿着平行于直线l的直线m移动，如图2，相当于点A、B是定点，点O是定直线m上的一个动点，求OA+OB的最小值，这就变成了典型的饮马问题了，如图3，作出点b关于直线m的对称点B’，利用对称将“OA+OB的最小值”转化为“AO+OB’的最小值”，当点A、O、B’三点共线时线段和最小，如图4，线段AB’的长度即为所求，.

由此题可见，通过相对运动，我们可以把一个看似无法下手的动态问题转化成了一个我们熟悉的“饮马问题”模型，是不是很巧妙呢？相对运动的理念不仅适合物理学，在数学领域也能暂放其光彩！

例2：（2014?江阴市二模）把二次函数y=ax²+bx+c的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，则二次函数图象的对称轴与x轴的交点是（　　）

A．（﹣2.5，0）       B．（2.5，0）    C．（﹣1.5，0）       D．（1.5，0）

【解析】本题考查了二次函数图象与几何变换，通常的做法：先配方：y=ax²+bx+c=a（x+）²+，再根据 “上加下减，左加右减”的平移规律分别得到二次函数y=ax²+bx+c的图象向左平移4个单位的解析式 “y=a（x++4）²+”或向右平移1个单位后的解析式“y=a（x+﹣1）²+”，再将原点（0，0）分别代入，得16a+4b+c=0①，a﹣b+c=0②，再将①﹣②，得出b=﹣3a，求出﹣=﹣=1.5，进而得到二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴与x轴的交点坐标是（1.5，0）．

巧妙的做法：可以把“二次函数y=ax²+bx+c的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点”理解为“y轴向右平移4个单位或向左平移1个单位后都会经过二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点”，则两交点分别为（-1，0）和（4 ，0），则二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标的即为（-1，0）和（4 ，0）连线的中点坐标（1.5，0）。利用相对运动，可以节省大量的计算过程，不得不说“精妙绝伦”，当然这种解法也要借助于数形结合，帮助学生理解运动的相对性才行。

例3： （2018?惠山区校级一模）如图5，点A是直线y=﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积的最大值为（　　）

       图5

A．2     B．     C．     D．

【解析】本题中的点A、B均为动点，点O是定点，△AOB的三边都在变化（OA、OB的长度在边；AB边的位置在变），相应边上的高也在不断变化，这对我们研究三角形的面积是不利的，但如果你细心观察会发现本题中有“变中不变”的元素：AB的长度不变，而且∠AOB的度数可求的（等于135°或45°），这就使我们联想到了“定弦对定角”的模块，这就需要我们换一种眼光来看待这个问题了：如图6，假如线段AB不动，则点O就应该在AB所对的圆弧上移动，即弦AB所对的圆周角为135°或45°.

那么，怎么样作出这样的⊙C呢？如图7，∵四边形AOBO’ 是圆的一个内接四边形，∠AOB=135°，∠O’=45°，则∠ACB=2∠O’=90°，于是我们只要以AB为斜边构造一个等腰直角△ACB，然后以点C为圆心，CA为半径作圆，则点O在劣弧AB上（∠AOB=135°，如图8）或者在优弧AB上（∠AOB=45°，如图9），当OC⊥AB时，△AOB的面积有最大或者最小值，图9中△AOB的最大面积为AB×OD=×2（+1）=.

本题通过相对运动就转化成为我们比较熟悉的“定弦对定角”的模块了，只是本题有一个易错点就是点A、B均为直线上的动点，∠AOB的度数要分两类来考虑，然后再对两种情形下的面积作出比较，从而得到面积的最值。如果想通了，就可以直接在图7的模型中寻求答案了：当点O移动到劣弧AB的中点时，△AOB的面积最小，当点O移动到优弧AB的中点时，△AOB的面积最大，图8和图9的功能就是说明此模型的合理性而已。

例4：如图10，直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x²+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图11，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．

图10              图11               备用图

【解析】第（1）问比较容易，先确定出点A的坐标，再求抛物线解析式：

∵点C（0，4）在直线y=﹣x+n上，∴n=4，

∴y=﹣x+4，令y=0，∴x=3，∴A（3，0），

∵抛物线y=x²+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．

∴c=﹣2，6+3b﹣2=0，∴b=﹣，

∴抛物线解析式为y=x²﹣x﹣2，

第（2）问将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，即点P绕点B逆时针旋转∠OAC的度数后落在坐标轴上，由于坐标轴不确定，所以分点P′落在x轴和y轴两种情况进行探究：

①当点P'落在x轴上时：利用相对运动来理解就相当于将x轴绕点B顺时针旋转∠OAC的度数后，与抛物线的交点即为点P，于是只要解决x轴旋转后对应的直线解析式，就可以用交轨法求出点P的坐标了。

如何求旋转后的x轴呢？可以考虑将点O绕点B顺时针旋转∠OAC的度数后，得到点O’，再过点O’作l⊥BO’，直线l即为所求，如图12，由作图可知∠1=∠2，易得∠OMO’=∠OCA，则AC∥l，可设直线l：，=，∴点M（0，），∴，联立方程组，解之得，

∴（﹣，），（，）。

②当点P'落在y轴上时：与①类似，利用相对运动来理解就相当于将y轴绕点B顺时针旋转∠OAC的度数后，与抛物线的交点即为点P，于是只要解决y轴旋转后对应的直线解析式，就可以用交轨法求出点P的坐标了。如图13，设y轴旋转后的直线m交x轴于点Q，则OQ=∠2=，∴点Q（,0），∴直线m：，联立方程组，解之得，     ∴（，）．

∴综上所述点P的坐标为：（﹣，），（，）（，）．

本道题如果用常规方法找到各种情况点P的位置的话，就要准确画图，这样很容易漏解，计算也比较复杂，然而利用相对运动解决的话思路很清晰，且不易漏解，通过交轨法可以将符合要求的所有点P一网打尽。

     运动变换类问题已成为中考热点问题，它的综合性较强、解题方法灵活、对学生的要求比较高，通过刚才几个问题的解决，我们不难发现，有一些看起来好像“山穷水尽疑无路”，但利用相对运动往往可以把复杂问题转化为简单性的问题，使得“柳暗花明又一村”。所以我们要将变换的观点渗透到平时的数学课堂中，要求学生熟练掌握初中阶段的三种几何变换，抓住运动的本质特征，将图形从相对静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，通过《几何画板》的动态演示让学生感受运动变化的过程中“动”与“静”是相对的，这种相对性的辩证思想对培养学生的思维品质和数学能力有很大的促进作用，有利于学生的数学学习能力的提升！

【参考文献】

[1]陈奋楷  逆向思维与相对运动观念——解抛物线平移问题妙法[J]《数学教师》1997年底8期