正切

一、教学目标

1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。

2、了解计算一个锐角的正切值的方法。

二、教学过程设计

师：同学们，某校开展社会实践活动，要求人人参与，九年级（1）班几位同学选择了测量学校旗杆的高度。在一个阳光明媚的早晨，小高，小许，小于同学分别在不同时刻测得以下三组数据，你能帮他们计算出旗杆的高度吗？

①小高同学测得某一时刻太阳光线与水平地面的夹角为45°，此时旗杆的影长为18米，你能求出旗杆的高度吗？

生：旗杆高度是18米

师：你能简单说下理由吗？

生：因为∠A=45°，所以△ABC是等腰直角三角形，所以

BC=AC=18米

②小许同学测得某一时刻太阳光线与水平地面的夹角为30°，此时旗杆的影长为30米，你能求出旗杆的高度吗？

生：旗杆的高度是10米

师：你是怎么算出来的？

生：在直角三角形中，30°所对直角边是斜边的一半

设BC=x，则AB=2x,利用勾股定理建立方程，求出BC=10米

③小于同学测得某一时刻太阳光线与水平地面的夹角为35°，此时旗杆的影长为25米，你能求出旗杆的高度吗？

生：不能

师：想一想，此时∠A=35°，AC=25米，∠C=90°，

△ABC的形状确定了吗？BC的长确定了吗？为什么？

生：确定了，如果我们每个人画一个这样的三角形，

可以用ASA证明他们全等。

师：学习数学有一个很重要的价值，那就是能够解决问题，但是上述问题明明应该可以求出来的，但我们却不会求，这让人感到郁闷。其实这主要是我们知识还不够的原因，因此从今天起，我们开始研究“直角三角形中的边角关系”。

师：我们不妨回顾下前面两组数据为什么能够求出旗杆高度？

生：当∠A=45°时，三角形三边关系是确定的a:b:c=1:1:，根据a:b=1：1，可以求出BC

当∠A=30°，三角形三边关系是确定的a:b:c=1::2，根据a:b=1:，可以求出BC

师：如果我任意在画一个等腰直角三角形或30°直角三角形，它们三边的比值确定吗？

生：确定

师：那么我们是不是可以大胆猜想，当一个锐角∠A确定时，它三边的比值也确定呢？

一下研究三组边的比值有点多，我们重点研究a:b这一种情况，为了叙述方便，我们把a称为∠A的对边，把b称为∠A的邻边。

如图，以∠A为内角的直角三角形可以画无数个，不难发现，这无数个直角三角形都相似，我们选取一组证明：∵Rt△ACB∽Rt△A₁C₁B₁

_.                            ∴

                  ∴

同理可得：∵

          ∴

由上述证明我们知道：如果锐角∠α的大小确定，以∠α为一个内角的直角三角形的大小虽然千变万化，但是对边和邻边的比却是始终不变的；

对于这种特殊的比，我们给他起个名称，叫正切

正切定义：在Rt△ABC中, ∠C=90°，我们将∠A的对边a与它的邻边b的比叫做∠A的正切，记作 tanA.

∵在Rt△ABC中, ∠C=90°

你能写出∠B的正切表达式吗？试试看.

在这两个表达式中我们不难发现：当两个锐角互余时，它们的正切值互为倒数

注意：tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，  记号里习惯省去角的符号“∠”。

∠BAC的正切表示为:tan∠BAC

∠1的正切表示为:tan∠1

∠α的正切表示为：tanα

概念辨析：

师：回到我们刚开始的问题，既然探究发现当一个锐角确定时，它的正切值也确定，那么当∠A=35°时，它的正切值是多少呢？对于这个问题，我们的古人早就已经作了研究：

通过三角函数数学用表或计算器我们发现当∠A=35°时，tan35°≈0.7，故≈0.7，所以BC≈18米

通过探究我们知道：当一个锐角确定时，它的正切值是一个固定值（常数），只要这个角大大小确定，它的正切值是客观存在的，不随人的意志而转移，打个比方：假如这个角在月球上，那么它的正切值依旧约等于0.7。

我们不妨可以再反过来思考：如果一个角的正切值确定（如BC=18,AC=13）那这个角大大小确定吗？

生：确定

师：而且我们可以利用三角函数表可以求出这个角的近似值。所以我们又可以发现一个角的大小除了用度数刻画外，还可以用这个比值来刻画

师：当一个锐角变化时，它的正切值变化吗？

生：变化

师：如何变化呢？

生：由上图可知，一个角的正切值随这个角的变大而变大

（如果时间充裕可渗透函数）

内化新知：

在练习的过程中进一步理解正切的定义

问题1：在多个变式中强化对正切本质的理解：

当一个锐角确定时，它的正切值是确定的，

它是一个常数与角的位置无关。

归纳：

求一个角的正切值，通常有以下三个途径：

1.寻求其所在直角三角形的背景；

2.寻求与其相等的其他角；

3.通过作高，构造直角三角形