编写：蒋超  审核：张瑜  时间：2018.12 班级          姓名          学号          

学习目标：

1．探究圆外一点与圆上任意一点之间的距离最值模型；

2．探究圆上任意一点到定直线的距离最值模型；

3．会探究点的运动轨迹，利用数学模型解决问题.

一、自主研读初步学

【学法指导1】

1.回顾几何图形中求最值的两个基本定理：①两点之间线段最短；②过直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

2.基本模型一：点圆最值

如图（1），当点P在圆外时，点P到圆上任意一点

 的最短距离为PA                         ，最长距离为 PB.

如图（2），当点P在圆内时，点P到圆上任意一点

的最短距离为 PA，最长距离为 PB.

【设计意图】在学生对平面内任意一点到圆上距离的最大值和最小值有一定基础的前提下，利用上述两个基本模型唤起学生的记忆，加深学生对基本模型的理解和领悟，为后面能够熟练运用模型解决问题提供助力。

3.范例解析：

如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，将点 D 沿过 A 点的直线折叠，点 D 的对称点为 D’， 则线段 CD’的最小值为           ．

                                        分析：因为AE是折痕，所以AD′=AD=6。

                                        故点D的运动轨迹是以A为圆心，AD长为半径的圆。根据上述模型我们知道，当线段AC与⊙A相交于点D′时，此时CD′最小。所以CD′的最小值=AC-AD′

【设计意图】以范例引领的形式，让学生在具体的问题中感受到模型的使用的前提和方法，也让学生体会到解决此类问题时建模思想的重要性。通过上面的问题解析，让学生进一步理解点圆的最值问题本质上是两点之间的距离最值，能抓住定长-发现隐圆是关键。也让学生在实践操作中有抓手，有方法。

4.    巩固训练一：

（1） 在△ABC中，∠ACB=90⁰，AC=4,BC=6,点D是BC的中点，点E在边AB上运动，将△CDE沿DE翻折，得△FDE，求AF的最大值是              .

（2）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为______

（3）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的动点，BE⊥AD于E，则CE的最小值为___________

【设计意图】精选3个有针对性的问题帮助学生巩固、检测自学情况，让学生在做中学，做中悟，深刻领会点圆最值模型的一般方法和操作步骤。为后面探究更深层次的点圆最值问题作铺垫，也为教师的课堂教学指明方向。

【学生活动】认真阅读学法指导一，思考：（1）平面内一点到圆上任意一点之间距离的最大值和最小值是如何确定的？能否进行严密的逻辑推理？（2）在范例解析中，隐圆是如何发现的？关键要找到什么？

【教师活动】组织学生认真阅读学法指导一和巩固练习部分，批阅课前自主学习部分，根据学生的掌握情况进行个人二次备课。

【时间安排】15-20分钟

【学法指导2】

1.基本模型二：线圆最值

如图1.当直线l与⊙O相离时，⊙O上任意

一点到直线l的最短距离是PA，最长距离是PB。

如图2.当直线l与⊙O相交时，⊙O上任意

一点到直线l的最长距离是PB。

2.范例解析

如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边 BC 上的动点，将△CEF 沿直线 EF 翻折，点C 落在点P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是       ．

分析：因为EF是折痕，所以FP=FC=2。

故点P的运动轨迹是以F为圆心，FC的长为半径的圆。根据上述模型我们知道，过点F作AB的垂线与⊙F的交点为P，此时PG的长即为点P到边AB的最小距离。

3.    巩固训练二:

（1）如图，已知在边长为 8 的正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，P 在过 A、E、D 三点的圆上，

则△APE 面积的最大值是          

（2）如图，⊙O 的半径是 2，直线 l 与⊙O 相交于 A，B 两点，M，N 是⊙O 上两个动点，且在 l 的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形 MANB 的面积最大值是             ．

（3）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD对角线的交点，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为            

（4）四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为____

【设计意图】精选4个有针对性的问题帮助学生巩固、检测自学情况，让学生在做中学，做中悟，深刻领会线圆最值模型的一般方法和操作步骤。为后面探究更深层次的点圆最值问题作铺垫，也为教师的课堂教学指明方向。

【学生活动】认真阅读学法指导二，思考：（1）圆上任意一点到某条直线之间距离的最大值和最小值是如何确定的？能否进行严密的逻辑推理？（2）在范例解析中，隐圆是如何发现的？关键要找到什么？

【教师活动】组织学生认真阅读学法指导二和巩固练习部分，批阅课前自主学习部分，根据学生的掌握情况进行个人二次备课。

【时间安排】15-20分钟

（选做题）在△ABC中,AB=4,BC=6,∠ACB=30°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A₁BC₁.点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中,点P的对应点是点P₁,则线段EP₁长度的最大值为_____________,最小值为_____________

【设计意图】精选一道选做题，目的在于让学有余力的同学提优训练，也体现了分层教学的思想，让每一位学生吃饱吃好。

【学生活动】认真专研，在解题过程中思考如何搭建基本模型，如何抓住定长构造隐圆？此题是体现点圆的最值还是线圆的最值？

【教师活动】批阅后对每位有困难的学生进行指导和帮助，将提优工作落实到每天。

【时间安排】15分钟。

二、合作探究深化学

（一）检查与建构

（二）深度探究

问题3：在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移

动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=4，则△ADP面积的最大值           .

问题2：如图，点 O 为坐标原点，直径 AB＝10，动弦 CD＝8，点 M 为弦 CD 的中点，点 P（－8，6），求 PM 的最大值与最小值．

问题3.如图，△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边 AB 的中点为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P，Q 分别是边 BC 和半圆上的动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值=         .最小值=           .

【设计意图】根据本节课的主要两个模型，选取3个有代表性并能提升学生思维能力的例题。问题1的本质是线圆之间的最值问题，本题的主要困难在于隐圆的发现，这里隐含了全等三角形的基本图形和90度圆周角所对弦是直径的结论运用。问题2是配套点圆最值模型的拓展，本题的突破点在于利用垂径定理的基本图形，发现OM是定长，从而确定隐圆，利用模型解决问题。问题3是点圆最值和线圆最值的综合运用，让学生在同一个图形中构建不同基本模型是对学生学习能力的一种极大提升。

【学生活动】1.学生完成深度探究中的三个问题；2.围绕问题展开小组交流；3.上台展示，畅谈在具体的问题中你是如何发现辅助圆的？你的心得是什么？

【教师活动】1.学生在独立探究的过程中巡视学生的完成情况，对个别有困难的学生进行一定的方法指导。2.组织学生进行小组讨论：①问题一和问题二中，有哪些不变的量？你想到了什么？②问题三中，如何构建基本模型？你遇到了什么困难？

【时间安排】25分钟

三．当堂检测

1.    如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求出A′C长度的最小值     

2.如图2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=6，点D是BC的中点，点E在边AB上运动，将△CDE沿DE翻折，得△FDE，求AF的最大值            

3.如图3.直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上的一个动点，连接PA，PB，则△PAB 面积的最大值为       

【设计意图】通过配套的练习有针对性的检测学生本节课的掌握情况，同时让学生在解题过程中进一步巩固本节课所学知识点，再次体悟建模思想。

【学生活动】10分钟独立完成当堂检测内容，回顾本节课的主要内容，加深对求点圆最值和线圆最值的方法的理解。

【教师活动】巡视全班完成情况，面批，对个别后进生进行补偿教学。

【时间安排】10分钟