注重综合实践活动，培养学生探究能力

——兼对课题“黄金分割与五角星“的教学研究介绍

山东沂南教育局  李树臣

【本文发表在湖北《中学数学》2014年第10期】

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标2011年版”）在各学段中，都安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。并且进一步解释指出，“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“计与概率”等知识和方法解决问题。可见，“综合与实践”活动不是要求学生去解答一道或几道简单的数学题，而是一系列能引导学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等数学活动的问题串。

笔者在本文首先介绍青岛版教科书确定综合与实践活动课题的指导思想，然后就本套教科书中有关综合与实践活动的课题进行梳理，最后以课题“黄金分割与五角星”为例说明教师应如何针对综合与实践活动进行教学研究。

一、确定综合与实践活动课题的指导思想

“课标2011年版”在“教材编写”建议中，提出“在设计综合与实践活动时，所选择的课题要使所有学生都能参与，不同的学生可以通过解决问题的活动，获得不同的体验。”这实质上就是我们选择综合与实践活动课题的总方针。由于“综合与实践”活动已经成为课程内容的一个组成部分，所以，选择这样的课题必须符合教科书编写的指导思想：

本套教科书的编写，以体现社会主义核心价值体系，注重培养学生社会责任感、创新精神、实践能力为基本原则。注重学生的经验、学科知识和社会发展三方面内容的整合；充分体现义务教育的普及性、基础性和发展性，严格遵循学生身心发展的规律和数学学习的心理规律，有利于促进学生学习方式的变革；努力反映现代科学技术发展的趋势和未来社会对学生数学素养的需求，使学生掌握现代生活和学习中所必备的数学基础知识和基本技能，体会数学与自然及人类社会的密切联系，获得对数学的理解；培养学生的创新意识和实践能力，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。力求做到“容易些、有趣些、鲜活些”，形成自己的编排体系和编写风格。注意切合我国城乡广大地区的教学实际，适应各地对教育发展的需要。

对于综合与实践来说，其目的主要在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题的能力，学生通过对这些课题的研究，能逐渐形成问题意识、应用意识和创新意识，不断积累数学活动经验，从而使能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系。运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。”这理应成为确定综合与实践活动课题必须遵循的原则。

二、本套教科书中综合与实践活动的整体安排

“课标2011年版”在“教材编写”建议中进一步明确提出，每一册教材至少应当设计一个适用于“综合与实践”学习活动的题材，这样的题材可以以“长作业”的形式出现，将课堂内的数学活动延伸到课堂外，经历收集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、实践检验、推理论证等多种形式的活动。

根据上述指导思想和编写要求，我们结合具体的课程内容，在青岛版教材中精心设计安排了七个“综合与实践”活动课题，它们都是以探究活动的方式来引导学生进行实践活动的，除九（下）教科书两个外，其余每册教科书都安排了一个这样的课题，这些课题分别是：

1、“你知道的数学公式”安排在七（上）第5章“代数式与函数的初步认识”之后；

2、“多边形的密铺”安排在七（下）第13章“平面图形的认识”之后；

3、“由1拃长引发的探索”安排在八（上）第4章“数据分析”之后；

4、“哪条路径最短”安排在八（下）全册教科书的最后；

5、“黄金分割与五角星”安排在九（上）全册教科书的最后；

6、“实际问题与分段函数模型”安排在（九）下第5章“对函数的再探索”之后；

7、“质数的分布“安排在九（下）第6章”事件的概率”之后。

以上每个活动均为两课时。

这些课题中的每一个都涉及课程内容的多部分，解答时要用到多方面的数学知识。

三、对“黄金分割与五角星”的教学研究

（一）教材内容简析

1、综合与实践­——“黄金分割与五角星”是九（上）全册教科书中的最后一个课程内容，它是在学过实数、分式、二次根式、一元二次方程、图形的全等与相似、圆等知识的基础上安排的。在本册第1章中，学习了多边形的相似，第3章中研究了圆与正多边形，在第4章“一元二次方程”中学生已经学会求一条线段的黄金比。

“黄金分割与五角星”课题就是在此基础上设计的。首先给出黄金分割点、黄金分割、黄金比（或黄金数）的概念，探索黄金分割的性质，进而引导学生发现如何利用尺规作出或用折叠的方法得到一条线段的黄金分割点。在此基础上，探究黄金矩形、黄金三角形的概念和性质，最后利用黄金三角形探索了正十边形、正五边形以及正五角星形的有关性质。

本实践活动是由两个教学板块组成的：

（1）交流与发现板块

以黄金分割为主线，提出6个研究问题，要求探究黄金数的代数及几何意义；用尺规作出一条线段的黄金分割点；利用正方形折出一条线段的黄金分割点；黄金矩形及其性质；黄金三角形及其性质等。其中有要求学生进行动手操作的，也有要求学生通过演绎推理加以证明的。例如，当学生用正方形纸片折出正方形一边的黄金分割点之后，教科书有意留下让学生思考应如何证明的空间（第4个问题）。其证明如下：

如图1，连接GF，∵CD=1，∴DF= ，

在Rt△BCF中，BF= ，∵A^/F=BF-BA^/= -1。

设AG=A^/G=x，GD=1-x，在Rt△A^/GF与Rt△DGF中，A^/F²+A^/G²=GF²=DF²+DG²，

即（ -1）²+x²=（ ）²+（1-x）²。解得x= 。

即点G是线段AD的黄金分割点（AG＞GD）。

可以看出，在以上证明过程中，学生需要综合运用轴对称、勾股定理、正方形及全等三角形等几何知识和列一元二次方程求解的代数方法加以解决。在解决这个问题的过程中，不仅可以培养学生综合运用数学知识解决问题的能力，而且让学生体会数学知识的相互关联、相互转化，增强学生对数学整体性的认识。

（2）实验与探究板块

以黄金三角形为主线，提出7个研究问题，对正五边形、正五角星的性质进行探究，通过一图（图2）多用，让学生从复杂的图形中找出基本的几何图形（等腰三角形、黄金三角形），发现这些图形中全等和相似的关系，加深学生对几何图形的研究方法的体验和认识，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。在通过探索获取结论之后，还要求学生运用演绎推理说明结论的真实性。这时，又需要学生灵活运用全等三角形的判定定理、相似三角形的判定定理、圆周角的性质定理等核心知识才能解决，这对于培养学生的推理能力、空间观念、几何直观以及创新意识都提供了一个很好的机会。

（二）教学目标

1、综合运用所学的“图形与几何”“数与代数”的有关知识，进一步了解黄金分割的有关概念及性质，能用尺规作出一条线段的黄金分割点。

2、了解黄金分割在生活中的实际应用。

3、了解黄金矩形、黄金三角形，探索正五边形及正五角星有关黄金分割的性质，会用尺规作正五边形及正五角星，并获得数学美的享受。

4、通过本“综合与实践”活动，加深对数学整体性的认识，丰富数学活动经验，感悟数形结合、转化的数学思想，提高推理能力、解决问题的能力，发展应用意识和创新能力。

（三）编写时注意的两个问题

1、精心设计问题串，引导学生进行探究活动

“课标2011年版”指出：“‘综合与实践’活动的实施是以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动。它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授，它是教师通过问题引导、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动。”为了充分发挥学生在“综合与实践”活动中的主体地位，让学生在活动中获得真实的、丰富的、深刻的体验，更好地发挥“综合与实践”活动的教学效益，教科书在活动的过程中设计了由浅入深、环环相扣、步步深入又富有挑战性的13个问题，与学生在各章中学习具体知识时的探索活动不同。在13个问题之后，课文中没有过多的明晰，而是把学生独立思考、合作交流的时间和空间留给他们自己，教科书在个别关键之处，给出的卡通人物的4段插话，其作用并非是直接告诉学生思路和答案，只是相当于学生在探索和交流活动完成后，自己所加的眉批和笔记，供学生课后反思和复习课文时之用。这13个问题中的每个问题既相对独立，每个问题的本身就是一项探索活动，都需要学生通过认真思考、独立探究和合作学习方法解决，同时从第（2）个问题起，每个问题又都是在前一个问题探究之后展开的。这样设计的目的是为了使学生能获得数学知识的研究过程和研究方法的体验，同时也有从“拾级而上”到“渐入佳境”最后有“一览众山小”的感受，让他们充分享受到成功的乐趣，从而调动其学习的积极性，引发他们的数学思考，使学生掌握学习数学的方法。

2、注重知识的应用过程

“课标（2011年版）”指出“教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活动应体现出‘问题情境——建立模型——求解验证’的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想，积累活动经验；要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识。”综合与实践活动是以“长作业”的形式出现的，它能将课堂内的数学活动延伸到课堂外，让学生经历收集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、推理论证等多种形式的活动。为此，我们努力为学生提供了综合运用所学知识解决实际问题的空间，围绕着“黄金分割”这个主题，设计了大量利用它进行的探索活动，这些活动每个学生都能参与，不同的学生可以通过解决问题的过程，获得不同的体验。学生通过动脑、动手、动口构建自主探索、全过程参与获取知识的平台，使学生有经历观察、猜测、计算、推理等活动的过程。本着“积累数学活动经验，培养应用意识和创新意识”的重要目标，既重在实践，又重在综合，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用，感受数学的理性精神和人文价值。

（四）教学建议

1、注重学习方式的转变，促进学生的个性发展

“课标（2011年版）”特别强调要改变学习方式，鼓励学生自主发展。“综合与实践”是以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，本课题是综合运用所学知识进行实践探索的学习活动。教科书中所提出的每个问题都具有较强的挑战性，要引导学生以自主探索与合作交流相结合的方式进行学习。教师不仅要关注结果，更要关注过程，不能急于求成，要鼓励引导学生充分利用教科书提出的每一个问题，展现思考过程，交流收获体会，积累活动经验，激发创造潜能。

2、发挥教师的指导作用

“课标（2011年版）”指出“有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。”教师在引导学生探究有关问题时，要充分发挥指导作用，注意放手让学生自主参与、全程参与，注重学生积极动脑、动手、动口，鼓励学生独立思考、互相启发、合作讨论、充分交流，为学生提供充分实践与思考的时间与空间，鼓励学生提出自己的见解和解决方案，而不能将本课题的实践活动变成教师的新授课或具体知识的练习课。

3、处理好预设与生成的关系

“课标（2011年版）”在“教学建议”中提出，教学中要处理好“预设”与“生成”的关系。本课题内容以问题串的形式呈现，共提出13个问题。对这13个问题教师在教学前应作好对教学方案的预设，把握好每个问题的设计意图和应达到的教学效果。明确每个问题的答案及思考过程，并对结论的真实性能用严格的演绎推理加以说明。当学生对解答过程或答案提出质疑，或另有不同的解答方案时，教师应尊重并鼓励学生的发言，并能耐心地回答质疑。

总之，综合与实践活动的设计反映了数学课程与教学改革的要求，也为学生提供了进行实践性、探索性和研究性学习的课程渠道。对此，教师在教学中要给予足够的重视，并且加强研究的力度，通过综合与实践活动的教学，能把学生所学知识“调动”起来，形成优化的认知结构，不断提高学生的综合数学能力。实现“课标2011年版”提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念。

参考文献

[1]李树臣.培养学生数学创新能力的若干策略[J].中学数学（下），2008（10）

[2]李树臣.中学数学课程内容选取的原则[J].中学数学（下），2010（3）

[3]李树臣.深入研究课程标准，精心选择课程内容——青岛版《义务教育教科书·数学》中课程内容选取的主要原则[J].中学数学杂志，2014（2）

[4]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京:北京师范大学出版社，2012

[5]展涛.义务教育教科书·数学九年级上册[M].青岛:青岛出版社，2014