利用轴对称性解决有关最值问题

                                                    湖塘实验中学   蒋 飞

一、利用基本图形探求平面内两点间最近距离

    问题1 如图1，已知A、B在直线 的两侧，在直线 上求一点P，使PA+PB最小．

 根据“两点之间，线段最短”.可以连接AB，线段AB与直线 的交点P就是所求的点.

    问题2如图2，已知A、B在直线 的同侧，在直线 上求一点M，使MA+MB最小．  

此题利用轴对称将直线同侧点最短路径问题转化为直线异侧点最短路径问题．

在河岸上选取P、D两点，使PD＝a，由于沿河岸走的路程PD＝a为一定值，因此，只须要AP+BD最短.因此，只要将A（或B）点向右（或左）平移a个单位，就转化为问题2了.作A关于直线 的对称点A′，过点B作BE// ，且使BE=a，连结A′E交 于P，在 上截取PD=a，且点B、D两点在直线EP的同侧.采取A ，可使路程最近.

学习数学，就要研究数学问题之间的内在联系，同问题3一样，能否将此问题转化为问题1的形式呢？我们一起来分析，(由于从经济角度考虑．桥必须与河岸垂直)可假设桥在某一位置E，且EF与河面垂直．如图4，从A村到桥头的距离AE加上桥长（河的宽度)EF），再加上B村到桥头F的距离BF最短，即AE+EF+FB最短. 由于河的宽度不变，不论修到哪里．桥是必经之路，且桥长（河的宽度)为一定值，只要AE+FB最短．

可平移FB至EC，转化为在直线 ₁上找一点E,使EA+EC最短.由问题1可知，只要使三点A、E、C在同一条直线上.

过点B作河岸 的垂线．在此垂线上截取BC的长等于河宽EF，连AC交A村一侧的河岸 于E点，作EF垂直于另一岸 于F点，则EF为架桥的位置，也就是说，AE+EF+FB是最短路径.

点评：运用平移变换，在保持平移后的线段与原来的线段平行且相等的特性下，把无公共端点的两条线段中的某一段移到新的位置，与另一条结“接”，变成简单的基本图形，根据“两点之间，线段最短”，把“折”线转“直”.平移变换是转化的手段，也是解决此类问题的关键.

   此题仿照问题4，将A点向河边垂直平移河宽至点C；连结BC交第一条河的另一岸于点D，过点D作DE与该河的另一岸垂直，此处为第一座桥的位置；将B点向河边垂直平移河宽至点H，连结HD交第二条河的另一岸于F，过F点作第二条河另一岸的垂线FG，此处为第二座桥的位置.连结AE、ED、DF、FG、GB．则最短的路线为A E D F G B．

    问题6：一条河流中的小岛M上的居民，每天用一条渡船送人到南岸、北岸上班和下班，问怎样设置两岸的码头才能使渡船行驶的路线最短．

利用轴对称知识求两（多）条线段的和的最小值问题．通过对以上问题的思考、探究，我们发现许多数学问题存在相似之处，同学们在学习中要注意多类比、多思考.

二、应用

A、3     B、4    C、5    D、6

分析：先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．

解答：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于O，AC=6，BD=8，AC⊥BD，所以，AO＝3，BO＝4， AB= =5

作E关于AC的对称点E′，∵AC是∠DAB的平分线，∴E′在AD上，AE=AE′，

∵E为AB的中点,则E′为AD的中点，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．

例2 （2009•年漳州市）几何模型：

条件：如图9（1）－9（4），A、B是直线 同旁的两个定点．

问题：在直线 上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线 的对称点A′，连结A^/B交 于点P，则PA+PB=A^/B的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图9（2），正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是___________；

（2）如图9（3），⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

分析：（1）由于B、D关于直线AC对称，所以，PB+PE＝PD+PE＝ED，PB+PE的最小值即为线段DE的长；（2）作出A关于直线OB的对称点A^/，连接A^/、C，直线A^/C与直线OB的交点即为所求的点P；（3）作P关于直线OB、OA的对称点P^/、P^//，连接P^/、P^//交OA、OB分别于Q、R，此时，△PQR的周长最小.

解答：（1）如图9（2），∵直线AC是正方形ABCD的对称轴，∴AC是BD的垂直平分线，P在AC上，所以，PB＝PD，PB+PE＝PD+PE＝DE，E是AB的中点，正方形的边长为2，所以，AE＝1，由勾股定理得DE＝ ，∴PB+PE的最小值为 .

（2）如图9（3），延长AO交⊙O于A^/,连接A^/C交OB于P，作OG⊥AA^/,∵OA⊥OB，∠AOC＝60°，∴∠AA^/C＝30°,PA+PC=PA^/+PC=A^/C=2A^/G=2×2·cos30°=2  PA+PC的最小值为2 ；

例3 (2009•湖北恩施州).恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图10（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S₁=PA+PB；  图10（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A′，连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S₂=PA+PB.  

(2)请你说明S₂=PA+PB的值为最小.

(3) 如图10(3)，拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X

解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,

∴AC=30  在Rt△ABC 中，AB=50 ,AC=30   ∴BC=40 

∴ BP=    S₁=              

图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，

又BC=40  ∴BA'=

由轴对称知：PA=PA'   ∴S₂=BA′=  ∴ ﹥      

(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA′，由轴对称知MA=MA′

∴MB+MA=MB+MA′>A'B

∴S₂=BA′为最小                

（3）如图10(3)，过A作关于x轴的对称点A′，过B作关于y轴的对称点B′，

连接A′B′,交x轴于点P，交y轴于点Q，则P,Q即为所求.

过A′、B′分别作x轴、y轴的平行线交于点G，A′B′=

∴所求四边形的周长为 .