初中数学数形结合在解题中的应用
湖塘实验中学  蒋超
摘要：数形结合是将代数解题法和几何解题法结合起来共同解决数学问题。这种方法能够使抽象的问题直观化，直观的问题精确化，从而使问题得到很好的解决。本文从两方面探讨数形结合在初中数学解题中的应用。
关键词：数形结合、初中数学、解题

数形结合是一种数学思想方法。这种方法将数与形完美的结合在一起。随着数学教学改革的深入，数形结合这种数学思想被运用到数学教学、数学学习当中。实践表明，数形结合这种方法不仅有利于培养学生的形象思维能力还有利于锻炼学生的逻辑思维能力。数形结合这种数学思想方法让学生在数学学习过程中取得了巨大的进步，也因此激发了学生学习数学的热情和积极性。接下来本文从"代数问题几何解"和"几何问题代数解"两个方面研究数形结合方法在初中数学问题解决中的应用。
一、代数问题几何解
代数问题几何解就是利用几何图形的直观性来帮助解决抽象的代数问题。复杂的代数问题通过图形可以更加直观、清楚。在初中阶段往往采取解析法和构造几何图形法两种方式来实现代数问题几何解。解析法就是利用数轴或坐标系来解决代数问题。构造几何图形法是根据代数问题的特征, 以及代数问题与图形间的内在联系构造出相应的几何图形, 研究图形的性质, 从而找出问题的解法, 初中阶段常见的构造图形有直角三角形、矩形、圆等。接下来本文从有理数、概率、不等式、方程和函数方面这五个方面浅谈代数问题几何解。
1、数形结合方法在解答有理数问题当中的应用
有理数是初中阶段学习的内容之一。通过数形结合的方式可以帮助学生直观、清楚的解答有关有理数方面的问题。这里常常采用解析法。
例如：如图所示，数轴上B点表示 1、C点表示 。 如果B点为A点和C点的对称点，那么A点所表示的数是      。
   A         B        C 
0            1        
结合题意，在根据上图，我们可以清楚地知道B点是A点和C点的对称中心，因此，AB=BC。假设A点对应的数为x，则 -1=1-x 所以 x= 2- 。所以A点所表示的数为2- 。
2、数形结合方法在解答概率问题当中的应用
概率问题是初中数学的一个难点。但通过图形的方式可以大大降低其难度。解决概率问题时使用数形结合的方法可以使问题迎刃而解。
例如：有三个同学自愿献血，两人血型为O 型，一人血型为A 型，若在这三位同学中任意挑选一名同学献血，半个月以后又从这三位同学中任意挑选一名同学献血，请问这两次抽血都抽到O型血的概率是多少？
如果从代数的角度去解答这道题会花费很多时间。很多学生都抱怨有关概率方面的题目很难做。但是利用图形来分析这道题，这道题就变得非常容易。学生在理解上也非常清楚。例如我们可以将所有情况以树形图的方式呈现。如下图：
 
上图中O代表O型血，A代表A型血。从上图中我们可以清楚地看到在两次抽血过程中，总共有9种可能出现的情况。而两次都抽到O型血的可能情况有4种。因此，两次抽血都抽到O型血的概率为4/9。
再例如：两个小朋友玩石头、剪刀、布的游戏。石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，同种手势算平手。请问两个小朋友平手的概率是多少？
看到这道题，很多学生都觉得太难了，感觉无从下手。其实，这道计算概率的题目，我们依然可以利用数形图来解决。我们假设其中一个小朋友为甲，另一个小朋友为乙。S代表石头，J代表剪刀，B代表布。将他们可能出现的手势用下面的树状图来表示，
 
从上图中我们可以清楚地看到甲乙两个小朋友的手势总共可能出现9种情况。其中平手的情况为3种。因此，两个小朋友平手的概率为3/9, 也就是1/3。
3、数形结合方法在解答不等式问题中的应用
数形结合方法在解答不等式的解集和应用题上都有不错的效果。数形结合方法可以帮助学生用直观、便捷的方式解题。例如在解不等式的解集时：
例如：解下列不等式组并写出下列不等式组的整数解
｛
要解答这道不等式组，首先分别求出两个不等式的解集。通过计算得出第一个不等式的解集x≥-1，第二个不等式的解集x<4。
将两个不等式的解集在数轴上表示，如下图
 
通过上图，我们可以知道不等式组在-1到4的范围内相交，其中不包括4。在这个范围内有整数-1、0、1、2、3。因此，这个不等式组的整数解为-1、0、1、2、3。
 再例如：已知 x=-2,y=-5 是方程组  的解，求不等式3x+b≥ax-3的解集。
 从题意分析，我们应该先将x,y的值带入方程组计算出a=1，b=1。然后将二元一次方程转化成两条直线，而所求不等式恰恰是直线的一部分。正如下图：
 
由图像可知，当x≥-2时，直线y=3x+1在直线y=x-3的上方。所以不等式3x+b≥ax-3的解集为x≥-2。
利用图形不仅可以解决简单的不等式问题，也可以运用到应用题当中。例如：某电信公司为顾客提供两种上网计费方式。第一种以每分钟0.1元的价格按上网时间计费。第二种方式每月固定收费20元，然后以每分钟0.06的价格按上网时间计费。如果有一位顾客上个月上网x分钟，上网消费为y元。请问该顾客采用哪种上网计费方式更合算？
 通过题意，我们知道有两种上网计费方式，我们可以先将这两种方式转化成方程式组  其中上方方程式代表第一种收费方式。 代表收费金额， 代表上网时间。下方方程式代表第二种收费方式。 代表收费金额， 代表上网时间。接下来将方程组转化成图像。如下图：
 
 通过图像，我们可以清楚地看到当 =500，两条直线相交。当 ＜500时， 在 的下方。当 ＞500时， 在 的上方。也就是说当消费时间达到500分钟时，两种计费方式所收费用相同。低于500分钟时，第一种计费方式比第二种计费方式便宜，超过500分钟时，第二种计费方式比第一种计费方式便宜。
4、利用数形结合方法解答方程式问题
和不等式一样，方程也是初中数学的一个重点。我们可以将方程转化为函数，利用函数图像帮助学生用直观、便捷的方式解题。首先我们可以利用函数图像解决方程根个数的问题。
例如：方程 的解的个数是几个？
这道题如果单纯使用代数方法去解答会什么复杂。如果使用数形结合的方法，这道题就变得很简单了。首先我们将这个方程进行转化，转化为 。在此基础上将该方程转化为 。求方程 的解的个数实际上就是求曲线 相交的交点有几个。根据曲线，该图像为
 
根据图像，我们可以清楚的看到两者只有一个交点。所以方程 的解的个数是1个。
再例如：方程 有一个根大于1，而另一个根小于1。求实数m的取值范围。
这道题如果用代数方法去解决会比较繁琐。而利用数形结合当中的解析法就简单多了。首先将方程 转化为 。 因为x的二次方为正数，所以转化为图像时抛物线开口向上。如图：
 
根据上图，我们知道抛物线与x轴相交。假设其中一个交点的坐标为（x1,0）,另外一个交点的坐标为（x2,0）。根据题意我们知道 有一个根大于1，一个根小于1，所以 ＜1＜ 。由图像可知，当x=1时，y＜0。方程 变为1+2m-1+m-6＜0。最后得出m＜2。
5、利用数形结合方法解答函数问题
函数是初中数学的一个重要知识点。我们同样可以利用数形结合的方式解答函数问题。我们可以利用图像确定代数符号意义。
例如：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如下图，判断下列描述那些是错误的        。
 
 A．a＜0     B. b＜0      C. c＜0     D. b-4ac＜0
根据我们已经学过的有关函数方面的知识，我们可以知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像开口如果向下，a＜0。如果向上，a＞0。从上图我们可以知道该二次函数图像开口向下，所以a＜0。因此A选项正确。然后我们从图像上可以看到该抛物线与y轴相交。因此我们可以进一步假设x=0, 则二次函数y=ax2+bx+c变为y=c。从图像上我们可以看到该抛物线与y轴相交在负数部分。所以c＜0。因此C选项正确。从图像上我们还可以看到该方程式的定点坐标（ ）都小于0。也就是 ＜0， ＜0。已知 ＜0，a＜0，所以b＞0, B选项是错误的。已知 ＜0，a＜0，所以 ＞0,所以4ac＞ 所以 b-4ac＜0。因此D选项正确。所以答案选B。
函数题往往用来考察学生解决生活当中的实际问题的能力。我们可以利用函数图像解决函数应用题。
例如：有一座拱桥。高6米，跨度20米，支柱间距5米。将拱桥按比例缩小成抛物线。将抛物线放在下面所给的平面直角坐标系中，求该抛物线的解析式。拱桥下地平面是双向行车道。正中间有一条2米宽的隔离带。其中的一条行车道能并排行驶3辆宽2米，高3米的汽车吗？（注：汽车间的间隔忽略不计）
 
 由上图结合题意，我们得知A点的坐标为（-10,0），B点的坐标为（10,0），C点的坐标为（0,6）。假设该抛物线的解析式为 （a≠0）,然后将A点B点和C点分别带入该解析式得到方程式组 。将c=6带入方程组得到 。解该方程组得到 ,b=0,c=6。所以该抛物线的解析式为 （ ）。
 根据题意，为了回答第二个问题，我们可以将该题转化为下图：
 
由上图可知，假设隔离带的宽度为D点和N点之间的距离，D点和G点之间的距离为可并行的车辆宽度。过G点作直线交抛物线与H点。通过题意可知NG=7，G点坐标为（7,0）。假设H点坐标为（7，y1）将H点坐标套入抛物线解析式当中，即 。最后得出y1＞3。也就是说该拱桥的一条行车道能并排行驶3辆宽2米，高3米的汽车。
除此之外，我们不仅可以借助函数图像解决函数最大值和最小值问题，还可以借助函数图像解决直线与坐标轴所围成的面积问题。接下来就这两个方面举例证明。
 例如：x≥0,y≥0且x+2y=1,求 的最大值和最小值。
 该题如果通过消元，转化为一元二次函数求解会比较麻烦。如果通过图像，解答起来会比较方便。我们可以通过构造几何图形的方法解答这道题。根据题意，将x≥0,y≥0且x+2y=1转化为下图中的线段BA。在线段BA上任意取一点Q，坐标为（x,y）。原点O到Q点的距离为OQ。OQ的距离为 。求 的最大值和最小值从下图看就是计算在线段BA离原点最近和最远的点。从图像上看，A点距离原点O最远。A点坐标为（1,0）OA=1。因此 的最大值为12，也就是1。从图像上看，Q点距离原点O最近。Q点坐标为（x,y）。OA,AB,BO 三线合成一个直角三角形，OQ为这个三角形的高。已知OA=1,BO= ,通过勾股定理，可知线段AB的距离为 。通过三角形面积计算公式，可知该三角形的面积为 ,通过面积和三角形的底可以计算出三角形的高OQ= 。因此 的最大值为 。
 
二、几何问题代数解
几何问题代数解就是利用代数方法得到数的结果。通过数的结果来帮助解决几何问题。在初中阶段往往采取方程法、函数法两种方式来实现几何问题代数解。解析法就是利用数轴或坐标系来解决代数问题。方程法顾名思义就是将几何问题转化为方程问题加以解决。函数法就是将几何问题转化为函数形式加以解决。接下来本文从方程和函数这两个方面浅谈代数问题几何解。
1、 利用方程式方法解答几何问题
例如：如下图，已知圆中有三条弦PP1,QQ1,RR1。这三条弦两两相交，交点分别为A点、B点和C点。已知AP=BQ=CR,AR1=BP1=CQ1,求证：三角形ABC是正三角形。
 
假设AP=BQ=CR=m, AR1=BP1=CQ1=n,BC=x,AC=y,AB=z。根据相交弦定理，可知：
m(n+z)=n(y+m),m(n+x)=n(m+z),m(n+y)=n(x+m)。计算后可转化为mz=ny, mx=nz,my=nx。将这三个式子相加，得出m=n。因此x=y=z。所以三角形ABC为正三角形。
2、 利用函数方法解答几何问题
我们往往可以利用函数方法解决几何问题当中的求最值的问题。例如：如下图，已知三角形ABC的面积为S,在三角形ABC的三条边AB、BC、AC上分别取D点、E点和F点，使得 。求当 为何值时，三角形DEF的面积最小？最小值为多少？
 
根据三角形面积公式，我们可以知道：
 
 
 
通过同样的方法我们可以计算出
所以
 当 时，  有最小值，最小值为 。
 当 时， 有最小值，最小值为 。

参考文献
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