“化圆”策略在几何最值问题中的运用

——一道中考题所引发的思考

苏红芬

几何最值问题是中考数学的一个热点问题,涉及的内容可覆盖整个初中平面几何知识。而很多几何最值问题往往可以转化为以圆为载体的问题，这类问题集多个知识点于一体,能全方位地考查学生的基础知识、基本技能、解题技巧以及数学思维和数学素养,成为中考试题中的一朵奇葩。本文将结合2015武汉中考选择题最后一题，就圆中的最值问题加以归类总结,并通过举例说明它们的解法。

一、动点在圆上，定点在圆外（内）

例1.（2015武汉）如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（    ）

A．            B．     C．               D．

【全面解析】先考虑让△EFG和△BCA重合，然后把△EFG绕点D顺时针旋转，连结AG、DG，根据旋转角相等，旋转前后的对应线段相等，容易发现∠ADG=∠FDC,DA=DG，DF=DC，故∠DFC=∠DCF=∠DAG=∠DGA.又根据等腰三角形的“三线合一”可知∠FDG=90°，所以∠DFG+∠DGF=90°，即∠DFC+∠CFG+∠DGF=90°. 所以∠AMC=∠MGF+∠CFG=∠AGD+∠DGF+∠CFG=∠DFC +∠DGF+∠CFG =90°.故点M始终在以AC为直径的圆上，作出该圆，设圆心为O，连结BO与⊙O相交于点P，线段BP的长即为线段BM长的最小值.BP=AO-OP= -1，故选D.

【难点突破】本题发现点M始终在以AC为直径的圆上是解题的重要突破口.考虑让△EFG和△BCA重合，然后把△EFG绕点D顺时针旋转，借助旋转的性质找出解题思路是分析有关旋转问题的重要方法.

【回归本质】①定性分析：动点M在圆上，定点B在圆外（内），求线段BM最短（最长）的方法是作定点与圆心的连线。如图，当点M与点P重合，则BM最小，当点M与点N重合，则BM最大。

②定量计算：边长为2的等边三角形一边上的中线BO= ，故BM长的最小值BP=AO-OP= -1。

【提炼模型】①当点B在⊙O外，在⊙O上取一点M，M在何处，BM有最小值？

②当点B在⊙O内，M在何处，BM有最大值？

答：作定点B与圆心O的连线。当点M在P点时，BM有最小值；当点M在N点时，BM有最大值。

变式：（2014徐州一模）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．如图，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按顺时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，写出线段EP₁长度的最大值与最小值．

【全面解析】（1）理清“变”与“不变”。 如果先抓“变化”的量：△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P既在旋转又在线段AC上运动，比较难以把握，剪不断理还乱，所以应先抓“不变”的量：①点E 始终在以定点B为圆心， 即2为半径的圆上   ②点P始终在线段AC上，当点P与点C重合时，点P距定点B的距离最大为6,；当点BP与线段AC垂直时，点P距定点B的距离最小=BC· =3，所以无论△ABC绕点B如何旋转，点P的运动轨迹始终在以定点B为圆心，3和 6为半径的两个同心圆之间的圆环上。

(2)假定E点不动，这个问题可以分解成圆内一定点到圆上一动点最值问题的基本图形。

其中，当点P在点F处时，EP₁最小，最小值=3-2=1，当点P在点K处时，EP₁最大，最大值=6+2=8.

【难点突破】本题发现点E 始终在以定点B为圆心， 即2为半径的圆上以及点P的始终在以定点B为圆心，3和 6为半径的两个同心圆之间的圆环上是解题的关键。

二、动点在直线上，定点在直线外

例1. （2014云南）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形ABCO的顶点分别为A（3,0）、B（3,4）、C（0,4），点D在y轴上，且点D的坐标为（0，-5），点P是直线AC上的一个动点。当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆，得到的圆称为动圆P。若设动圆P的半径长为 AC，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F。请探求在动圆P中，是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由。

【全面解析】（1）转化的思想。①四边形DEPF的面积=2△DPE的面积=2DE·PE=2DE· =5DE=5 ②四边形DEPF的面积要最小，只要DP最小，当DP⊥AC时最小，此时DP= ，四边形DEPF的面积的最小值为

(2)函数思想.建立四边形面积与线段DP的函数，利用函数增减性定性确定P点的位置。

【难点突破】圆心P作为动点在直线AC上，定点D在直线AC外，根据垂线段最短原理即可解决。

变式：如图平面直角坐标系中，A(-4，0)B（0,4）C(2，0),D是线段BC上的动点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EFAD则线段EF的最小值为多少？

【全面解析】首先要发现A、F、D、E四点共圆，可以用圆的定义“到定点的距离等于定长”来说明，也可以依据两组对角分别互补的四边形四点共圆的经验来判断，得出EF是以AD中点为圆心， 为半径的圆中的弦，

其次，要利用同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，从而得出∠EGF=90⁰，△EGF是等腰直角三角形，故EF= ，建立函数，要使得EF最小，只要AD最小，从而将问题引入动点D在直线BC上，定点A在直线BC外，这种基本模型，根据垂线段最短原理即可解决。

【难点突破】①要发现A、F、D、E四点共圆

②能够得出∠EGF=90⁰，△EGF是等腰直角三角形

③运用垂线段最短原理

④会利用三角函数正确求解

综上所述，对于几何最值问题，同学遇到时不必惊慌失措，常常可以想一想“化圆”策略，重点可以用到以下两个结论:1.两点之间,线段最段;2.垂线段最短。