近几年各地中考卷中常会出现一类以矩形为背景的折叠问题，通常会在压轴题中以综合题的形式出现，如果解题的经验与方法掌握不到位，有时会难以下手或者做得很繁琐。

下面我们以一道题为例来研究这类问题的解题策略与方法：

例：已知：如图1，矩形ABCD中，CD=2，AD=3，以C点为圆心，作一个动圆，与线段AD交于点P（P和A、D不重合），过P作⊙C的切线交线段AB于F点．
（1）试说明：△CDP∽△PAF；
（2）设DP=x，AF=y，求y关于x的函数关系式，及自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的点P，使△APF沿PF翻折后，点A落在BC上，请说明理由

 

 

          图2

如图2，若∠A=∠FPC=∠D，则必定有△FAP∽△PDC，   图1

文中暂且称为“一线三等角”基本图形。题中（1）（2）两小题只需抓住这个基本图形即可得解， 。

下面主要研究第（3）题。

解法一:紧扣“一线三等角”的基本图形。

如图3假设存在点P，使△APF沿PF翻折后，点A落在              图3

BC边上的A’，只要能求出此时x（0﹤x﹤3）的值，则存在P点，若求不出相应范围内的x，则P点不存在。

要求x，则要列出关于x的方程，在几何图形中，列方程的依据无非就是相似、勾股定理和三角函数。本题中由条件产生很多直角，不妨构造“一线三等角”基本图形。

过点P作PQ⊥BC于点Q，则△FBA’∽△ A’QP，

∴ ，即 ，从而得BA’=x，

∴A’Q=3-2x，

在Rt△PA’Q中利用勾股定理可列方程 ，此方程无解，所以符合题意的点P不存在。

（注：△FBA’∽△ A’QP，这对“一线三等角”相似三角形的相似比即为FA’：A’P，

而FA’：A’P= FA：AP=PD：DC，所以BA’总是可以用x的代数式表示出来。）

法二：抓住这类问题中“Z”字形相等线段。

在折叠问题中，折痕既是“中垂线”也是“角平分线”，

而往往问题中都是将矩形进行折叠，矩形的“对边平行”，

“角平分线”遇到 “平行线”，通常会产生等腰三角形，

我们在解决折叠问题时要善于从复杂的图形中找出这个基本图形。      图4

如图4同样假设存在点P，使△APF沿PF翻折后，点A落在BC边上的A’。

如图，由折叠可知PA=PA’，∠1=∠2，

∵∠FPC=90°，则∠2+∠APC=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠APC=∠3，而AD∥BC，可知∠3=∠4，

进而得到∠APC =∠4，所以A’P= A’C,则A’C=3-x，∴A’Q=3-2x，

同样，在Rt△PA’Q中利用勾股定理列方程即可求解。

法三：善于“顺水推舟”。

要使△APF沿PF翻折后，点A落在BC边上的A’，也就是点A关于直线PF的对称点A′落在边BC上。那么怎样才能使点A关于直线PF的对称点A′落在边BC上？

如图5不妨过点A作AO⊥FP，延长AO交BC于点A’，若此时

恰有AA’=2AO，那么点A关于直线PF的对称点就是边BC上的A′，

利用这个等量关系，列方程就可以解决这个问题。                       图5

把AA’与AO分别用含x的代数式表示：易证∠1=∠2=∠3，

在Rt△BAA’中，AA’= = = = ，

在Rt△AOP中，AO=APsin∠2=AP sin∠3= ，

根据等量关系可得方程： =2 ，整理得：

此方程无解，所以这样的点P不存在。

（注：这种方法是解决这类问题的通法，关键是找到角之间的相等关系，用好三角函数。）

在解决这类问题时，题目给出的条件不同，我们可以选择适当的方法来求解，下面来关注几个中考压轴题：

(2012天津数学中考卷第27题）

1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；

（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．                                               图6

 

这个问题中的第（3）问，就是我们上面研究的类型，这里选择“法二”，能很简单地解决这个问题。

如图6，由折叠可知OB’=OB=6,PB’=PB=x，PC’=PC=11-x，B’C’=11-2x，

∵∠BPO=∠C’PO，而BC∥OA，可知∠BPO=∠PO C’，

进而得到∠C’PO=∠PO C’，所以O C’= C’P=11-t，

在Rt△OB’ C’中，利用勾股定理可列方程 ，解此方程即可得解。

（2012常州数学中考卷第27题）

2、已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图7），设CP=x，DE=y．
（1）写出y与x之间的关系式y=-x²+4x             ；
（2）若点E与点A重合，则x的值为2+ 或2-              ；
（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．

 

 

                图7                                        图8

这个问题我们可以选择“法三”，方便简洁。

如图8，过点D作DO⊥EP，延长DO交AB于点D’，若此时恰有DD’=2DO，那么点D关于直线PE的对称点就是此时边AB上的D′。利用这个等量关系，列方程就可以解决这个问题。把DD’与DO分别用含x的代数式表示：易证∠1=∠2=∠3，

在Rt△ADD’中，DD’= = = = ，

在Rt△DOP中，DO=DPsin∠2=DP sin∠3= ，

根据等量关系可得方程 =2 ，

整理得： ，解得： ，经检验均符合题意。

 (注：在利用这种方法解决问题的过程中，不管E点落在DA上还是DA的延长线上，DD’与DO的表示方法不变，可避免分类讨论，直接求出两个解！)

下面这个问题中的（3）考察的还是上面这种类型的问题，只是题目背景稍作变化，实质相同，我们同样可以选择以上介绍的方法来解决问题。

（2013扬州数学中考卷第27题）

如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；
（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

 

 

 

 

 

由以上研究我们可以看到，解决矩形折叠问题我们要关注以下几个方面：1、要明确折叠的有关性质，尤其是折痕所具有的性质，它既是角平分线，又是对应点连线的垂直平分线。2、善于从复杂图形中找出基本图形：如“一线三等角”的相似，一些相等锐角三角函数的转换，角平分线遇平行形成的等腰三角形…。3、关注方程思想，根据题意或选择一条适当的线段设为x，尽可能多地用含x的代数式表示其它线段，最后设法找出等量关系并列方程求解。在几何问题中列方程的依据通常是相似、勾股定理与三角函数。