《杨辉三角和两数和的乘方》教学案例
汪丽萍
一、案例分析
本节是在学习了整式乘法的基础上进行的，是对整式乘法的拓展，为今后学习二项式
在上完完全平方公式之后，从学生作业反馈中发现，学生易丢
二、学情分析
本学段的学生具有对与自己的直观经验相冲突的现象和对有挑战性任务感
兴趣的特点，也初步具备个体和群体参与“探究性问题”、“开放性问题”活动的能力，并结合本节内容的特点，采用探究式学习方式。对于学生在探究过程中出现不全面、易出错等问题，教师给予及时的引导、点拨和激励评价。对新知学习都力求从学生实际出发，。以他们熟悉或感兴趣的问题情景引入主题，展开数学探究。
三、教学目标
1、通过实验操作，引导学生观察分析，形成数形结合思想。
2、通过例题的延伸训练，初步体会运用类比思想研究数学问题。
3、通过研究杨辉三角的数学规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力和发展数学方法（如赋值法等）。在小组讨论、探索过程中初步培养合作意识，发展创造性思维能力。
4、通过杨辉三角数学中的介绍，增强学生民族自豪感。
四、教学重点：杨辉三角的发现、理解、和初步应用。
五、教学难点：
六、教学策略与手段
采用“问题解决”的教学模式，遵循“创设情境——合作交流 ——解决问题———明晰新知———感悟新知———应用拓展———升华新知”的思路来组织教学过程。借组多媒体辅助手段，通过学生动手实践、观察、分析、猜想、组织讨论、合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报成果，得到结论后进行总结，及时进行反馈应用和反思式总结。
七、教学过程
（一） 合作学习，形成技能
图2 图1
生：动手操作完成（如图2），写出验证完全平方式
师：归纳面积验证的思路，大整块面积=所有小块面积之和。
图3
生：四人小组合作，动手操作完成，写出一条恒等式。
生：
师：我们已经得到了
生：学生先独立完成，然后同桌讨论交流。
生1：
师：因上表图形如三角形，我国古代数学家杨辉对其有过深入研究，所以称它为杨辉三角，并提出课题。
【设计意图：通过合作学习，从不同角度训练学生的思维，即提高学生学习兴趣，又培养合作团队精神和创造能力。】
（二）介绍杨辉，感受成就
杨辉，杭州钱塘人，中国南宋末年数学家，数学教育家，著作甚多，他编著的数学书共5种21卷，著有《详解九章算法》12卷（1261年）、《日用算法》2卷、《乘除通变本末》3卷、《田亩比类乘除捷法》2卷、《续古摘奇算法》2卷。其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，该书还说明此表源于我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）的“开方作法本源图”，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。因此，我们把此表叫杨辉三角或贾宪三角。
在欧洲，这个表被认为是法国数学家、物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal，1623—1662），他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
【设计意图：了解数学家杨辉及其成就，增强民族自豪感；让学生体会到研究杨辉三角就是体察杨辉的探究精神，以鼓励学生探究的热情。】
（三）探求规律，形成新知
师：（1）请你找出上述数据上下行之间的规律。（便于发现，可标出“∨”号）
生：下一行中间的各个数分别等于它“肩上”的两数之和。（如：1+2=3）
师：（2）说出每项中字母a和b的次数排列规律。
生：展开式中每项字母a的次数从高到低排列，字母b的次数从低到高排列。
师：（3）展开式中的项数与乘方指数有何关系？
生：展开式中的项数比乘方指数多1。
师：你能按上述规律写出 (a+b)5 的展开式吗？
生：
【设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结，发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学生成为有意义的学习。】
师：将上述各展开式的每项系数再整理成如下模型：
师：对上表你还有什么规律可发现？
生1：最外侧的系数都是1。
生2：展开式中第二项的系数都等于乘方指数。
生3：展开式中各项的次数等于都乘方指数。
生4：系数成左、右对称排列。
…………
【设计意图：虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认识结构联系起来，并纳入原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动构建的而不是被动死记的心理过程。】
（四）范例讲解，应用新知
师：例1 若今天是星期一，再过
生1：星期二，将问题转化为求“
生2：
师：（例1延伸）若今天是星期一，再过
生1：猜想星期二，然后从
生2：求
师：（例1拓展）若今天是星期一，再过
生：
【设计意图：从简单到复杂，从特殊到一般，层层推进，既深化新知，又激化学生的思维，更激化学生从认知结构中已有的知识和经验，便于学生类比学习。】
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A列 |
B列 |
C列 |
D列 |
E列 |
F列 |
G列 |
H列 |
I列 |
J列 |
K列 |
求和 |
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0行 |
1 |
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1 |
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1行 |
1 |
1 |
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2 |
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2行 |
1 |
2 |
1 |
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4 |
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3行 |
1 |
3 |
3 |
1 |
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8 |
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4行 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
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16 |
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5行 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
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32 |
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6行 |
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
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64 |
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7行 |
1 |
7 |
21 |
35 |
35 |
21 |
7 |
1 |
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128 |
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8行 |
1 |
8 |
28 |
56 |
70 |
56 |
28 |
8 |
1 |
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256 |
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9行 |
1 |
9 |
36 |
84 |
126 |
126 |
84 |
36 |
9 |
1 |
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512 |
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10行 |
1 |
10 |
45 |
120 |
210 |
252 |
210 |
120 |
45 |
10 |
1 |
1024 |
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… |
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（五）纵横斜探，深度挖掘
师：发给每位学生一张Excel表格。（表格上可先填好第一、二、三行的数字）
生：四人一小组共同制作完成Excel表格“杨辉三角.xls”。
师：你能找到各行数字之和的规律吗？并用字母n表示第n行之和的结果。
生：从求和的结果规律看，第n行之和的结果为
师：观察
生：当a=1，b=1时，左边
师：若学生想不到此验证思路，教师可借助当n=4时，
这种验证方法叫数学中的赋值法。
师：我们再从右斜线上算各行数字之和，有什么规律？
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A列 |
B列 |
C列 |
D列 |
E列 |
F列 |
G列 |
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0行 |
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1行 |
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1 |
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2行 |
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2 |
1 |
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3行 |
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3 |
3 |
1 |
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4行 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
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5行 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
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6行 |
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
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7行 |
1 |
7 |
21 |
35 |
35 |
21 |
7 |
生：1,1,2,3,5,8,13,21，……，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和。
师：这就是著名的斐波那契数列。
【设计意图：培养学生观察探究能力，再发现杨辉三角蕴含了许多优美的规律，让学生充分展开思维进入研究状态，形成爱数学的好习惯。】
（六）走入“斐波那契数列”
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算数之法》中提出了一个饶有兴趣的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能成长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子。设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡。问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
兔子繁殖问题可以从杨辉三角得到答案：右侧从上而下的一列数1,1,2,3,5,8,13，… ，正好是刚生的兔子对数，第一个月后的兔子对数，第二个月后的兔子对数，第三个月后的兔子对数，……. ，n个月后的兔子的对数。“兔子繁殖问题”的答案233。
【设计意图：通过体验斐波那契数列，呈现数学的趣味性，提高课堂学习氛围，达到学以致用的目的。】
（七）作业设计
1、通过网络搜索有关杨辉三角资料，进行再阅读，领悟其精髓。
2、结合资料，进行再探索。（有能力的学生写一篇数学小论文）
（八）问题研讨
1、再平时教学中，对阅读材料的使用常流于形式：如作导入新课的素材（显得肤浅），课堂中插入介绍（感觉生硬），布置学生课外阅读（难以落实）。如何开发、有效的使用阅读材料，更好的发挥他在教材、教学中的作用？
2、再探究式教学中，对教师主导地位和学生主体地位在尺度上如何把握，和在时机上如何收效感到有些困难。
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