《神奇的式子》教学设计和教学反思

薛丽萍

著名数学家华罗庚说过：“数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用.”“神奇的式子”探究活动围绕“握手问题”而展开，由它而衍生的计数问题比比皆是.

教学过程

活动一（握手问题）：同一小组内（每一小组12人组成）每两人之间相互握手一次，思考如何计算本组人员间共握手多少次？

（学生先独立思考，再小组合作讨论交流，最后大班展示方法.）

（每一位组员都要和其他组员（11位）握手，即握手11次，12个组员就一个要握手12×11次，但是每两个组员之间的握手都看成了握手两次，即重复计算了一次，所以本组人员间共握手 次.）

【活动说明】这是一个切实可行的问题情境，让学生在亲自参与活动的过程中感受数学源于生活，生活中充满着数学.通过活动激发求学生知欲，体会用数学思想解决实际问题，获取解决问题的方法和经验.该活动充分体现了综合与实践课是培养学生实践能力的途径，注重数学与生活实际、数学内部知识的联系和综合应用的特点.同时，通过活动让学生初次感受神奇的式子.

活动二：问题1  如图1，一条直线上有12个点，图中共有多少条线段？

                        图1

问题2  现有12支乒乓球队参加乒乓球循环赛（每个队都要与其他队比赛一场），共需要比赛多少场？

【追问1】通过生活实例和数线段问题，学生发现了三个问题的答案都是66，思考：这三个问题有什么共同的特征？

（在上述问题中，分别把人、点、球看成是研究对象，两人握手、两点连线、两球间的比赛看成是研究对象间的一种关系，要求的握手总数、线段总数、比赛总场数就是求所有对象间的不同关系总数.）

【追问2】如图2，一条直线上有 个点，图中共有多少条线段？

图2

（方法一：以 为顶点的线段有 条，以 为顶点的线段有 条…以 为顶点的线段有 条，但每条线段都被重复计算了一次，故共有 条线段.方法二：以 为顶点的线段有n条，以 为顶点的不重复的线段有( )条…以 为顶点的不重复线段有1条，故共有线段（ ）条，即 条.）

【活动说明】前面我们研究的都是一种特殊情形，当我们研究这个问题的一般情形时，可借助解决特殊情形的数学思想方法来解决一般情形，让学生在经历观察、猜想、推理、计算的过程中，发现一个神奇的式子 ，感受到数学和现实的联系，体会从特殊到一般、从具体问题到抽象感官的研究问题的思路，获取运用化归的数学思想来解决问题的方法和经验.

【追问3】同一小组内（每一小组 人组成）每两人之间相互握手一次，本组人员间共握手多少次？

【归纳】当 个研究对象中任意两个对象都发生一种关系时，这样的关系总数应是 种。

活动三：问题3  如图3，①从一点O引出4条射线，则共有       个角；

                          ②从一点O引出12条射线，则共有       个角；

③从一点O引出 条射线，则共有       个角。

                             图3                          

（有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，在数图3中角的个数，可以类比数线段的方法，把两条有公共端点O的射线看作是数线段问题中线段的两个端点，那么数角的问题就转化为数线段的问题，若从一点O引出 条射线，则共有个 角。）

问题4  如图4，①若 =12，则图中有       个三角形；

,                 ②图中共有       个三角形。

  图4

（方法一：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。如图4中点O是三角形的一个顶点，顺次连接O与线段 上任意两点都可组成一个三角形，把三角形的另两个顶点看作是数线段问题中线段的两个端点，那么数三角形的问题也就转化为数线段的问题，则图中共有个 个三角形。方法二：将三角形看作是一条线段和一个角的组合图形，则研究三角形个数问题，就转化为上题中数角的问题了。）

问题5 ①平面内不在同一直线上的3个点，能确定    条直线；

②平面内不在同一直线上的12个点，最多能确定    条直线；

③平面内不在同一直线上的 个点，最多能确定    条直线。

（两点确定一条直线，将确定直线的两个端点看作是数线段问题中线段的两个端点，那么数直线问题就相当于是数线段问题。）

【活动说明】通过类比将三个背景不同的几何问题都转化为数线段问题，让学生感受到神奇的式子在数学中应用，感受到神奇的式子的魅力，同时在分析问题的过程中注重培养学生类比的数学思想方法。

活动四：问题6  幼儿园老师给小（1）班20个小朋友分发不同的玩具。玩了一会，老师说：“小朋友们，你们可以任意找个小朋友交换玩具，但是只能交换一次。”问交换结果可能有多少种？

问题7  一列从南京开往连云港的火车，图中要停靠11个站，按照各站间的地名不同而设置不同的车票，共需定制多少种车票？距离相等的票价相同，最多应设置多少种不同的票价？

【活动说明】通过两个简单的实际问题，引导学生发现这个原则：只要研究对象（人、点、车站、球队等）间任意两者发生一种关系（交换玩具、连线、定票价、比赛等），在这样的数学原则下，得到的结果都是相同的式子 ，真真切切的感受到神奇的式子中散发的数学魅力。

活动8  请你思考在日常生活中，哪些问题的结果也是式子 ？

【活动说明】指导学生运用数学知识来解决日常生活和社会实践中的问题，用类似于科学研究的方式主动地获取数学知识，也让数学回归生活。

教学启示

数学综合与实践是以数学学科为依据，注重数学学科与其他学科、学生生活、社会生活之间的整体联系，它以问题为中心，以活动为主要形式，以综合性学习内容和综合性学习方式促进学生的综合性发展，初步形成探索问题和解决问题的能力.

一、综合与实践课应贴近生活，服务于生活

新课程标准中指出：“教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想方法,获得广泛的数学活动经验。”从这一基本理念出发，综合与实践课应有让学生“用数学”的内容，通过“用数学”发展他们解决问题的能力。数学离不开生活，生活中处处有数学。在综合与实践课中应注重数学与现实生活的联系，多创设轻松愉悦的数学生活小情景，激发学生学习数学的兴趣，跳动学生学习的主动性与积极性，把学习变成学生主动探索的过程。

二、综合与实践课应充分发挥学生主体性，引导学生主动发展

任何课程开设的目的都是为了学生的发展，让他们学有所获。综合实践课活动的实施要以学生的直接经验或体验为基础，将学生的需要、动机和兴趣置于核心地位，活动充分发挥学生的主动性和积极性，鼓励学生积极开展活动，引导学生主动发展。在综合与实践课中，教师不再是传授者，而是促进者，作为促进者的关键是促进学生自主学习，促使学生自己去感知体验、实验观察、探究研讨。学生不再是一个被动的接受者，而是一个充满主动精神的探索的主体，一个提出问题并尝试解决问题的研究者。师生之间是合作的关系，共同投身于问题的研究过程，共同享受成功的喜悦。