折纸中的数学问题——折纸做60°、30°、15°的角
一、教学目标
① 通过折叠，加深对轴对称、全等性质的认识；
② 能折出60°、30°、15°的角；
③通过折叠，建立空间观念，让学生经历折叠、观察、猜想、推理、交流、反思等理性思维过程，发展学生对几何图形的认知能力、演绎推理能力，进一步提升数学活动经验；
④让学生积极而主动参与探索，在动手实验的过程中感受数学活动的乐趣。
本节课设计从易到难，从特殊到一般的数学学习规律，抓住学生的兴趣点，将重难点在学生的快乐中解决突破。
二、重点难点
重点：通过活动的任务、目的、过程等环节，培养学生的动手能力和创新能力。
难点：通过推理论证，证实所折的角为60°、30°、15°的角。
三、教学过程
（一）创设情境，引入新课
折纸是一门艺术形式，动物、花、船和人等都是折纸的创作题材，在折的过程里要用到很多的数学知识，比如：如何折出特殊的角度，这就需要我们通过数学知识来解决这个问题，下面我们就来具体学习一下如何通过折纸，折出特殊的角度。
（二）提出问题，深度思考
问题1：在一张矩形纸片上，你怎么折出一个45°的角？
问题2：用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？
归纳：对折可以平分一个角，可以把一个角平均分成2n份，从而得出折叠后角的度数。
从简单的折纸游戏出发，提高学生课堂参与度，经过学生的互相补充得出22.5°,67.5°,112.5°等度数的角。由此引导学生发现上面的结论。此过程也让学生感受折纸可以得到角的倍分关系。
问题3：那么30°的角，能否用折纸的方法折出呢？怎样折？（难点）
这个问题的提出是为了增强学生对新旧知识的联系，突出所学知识的整体性、联系性，是螺旋上升的关系。
（三）动手操作，实验探究
1、学生尝试：最终会把矩形纸片的90°角折叠的接近三等分。
追问：你能精确折出30°的角吗？
2、理论引导：
30°所对的直角边等于斜边的一半。
也就是说如果折一个直角三角形使斜边是直角边的两倍，问题就解决了，怎样得到这样的三角形呢？
为突破重难点，做以下铺垫：
（1）矩形对折，寻找边长的二倍关系
A B C F D E
AB=2BE
(2)矩形两次对折，寻找与一次折叠不同的边长的二倍关系
A B C F D E M N Q P
BE=2ME
A B C F D E
本次折纸活动方案的设计是对教学过程的“预设”，活动方案的形成依赖于对教材的理解、钻研和再创造。在把这个预设实施到课堂教学时，往往会生成一些新的教学资源，这就需要教师能够及时把握，因势利导，进行二次备课，从而达到更好的效果。
【设计意图】
让学生体会折叠对称的思想，也让学生更加容易的去构造存在30°角的直角三角形。
（3）利用上面得出的边长关系折出斜边等于直角边两倍的直角三角形。（安排小组交流）
A B C F D E O
预设一：
AB=BO=2BE
A B C F D E M N Q P O
BE=EO=2ME
【设计意图】
在折纸的过程中，让学生进一步体验方法的灵活性，感受数形结合等思想方法的运用。
（四）引发猜想，理论验证
已知：将矩形ABCD沿EF对折，折叠AB使点A落在折痕EF上。求证∠EOB=30°
证明：∵E是AB的中点
A B C F D E O
又∵AB=OB
∴OB=2BE
又∵点A、B关于直线EF对称
∴∠AEF=∠BEF=90°
∴在Rt△BEO中，∠EOB=30°
思考：还能用什么样的方法证明？
问题设计的目的在于让学生对所学知识的清晰，能对知识间的练习融会贯通，体现数学学习的灵活性。
（五）变式练习，学以致用
问题1：用矩形卡片能否折出等边三角形？
A B C F D E O M N
A B C F D E O
问题2：怎样折出的等边三角形才是最大的？
折等边三角形是一个思维的跨越，从角到等边三角形的转化，可以使学生在获得知识、技能和方法的同时，让知识在实践中巩固内化，同时也培养了学生大胆探索、善于创造的意识。
问题3：中考链接
（2012山东淄博）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有【 】
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
课后思考：利用折纸把任意一个角三等分
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