“综合与实践”教学的点滴体会

薛小霞

    “新课标”中设置了“综合与实践”领域，这个领域与知识领域相比，它更多的指向实践和综合，是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动。在课标修订后，对这一领域的教学提出了明确要求：引导学生关注知识的综合，体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系。而在提倡素质教育的今天，要促使学生数学水平有实质性发展，就不应当仅仅是知识的积累，更应当是数学认知活动中的不断实践、探索、体验和积累，从而真正提高自身的数学素养。“新课标”中“综合与实践”正是弥补了学科课程的不足，为培养学生个性发展、学生特长发展提供了广阔的天地。

基于上述背景，下面结合平时一节综合实践课“一线三等角基本图形”的教学设计进行一次再设计，并由此引发思考：

一、教学设计

《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”要求学生掌握一些重要的图形贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终，所以在我们平时的教学过程中有意识地强化几何中的基本图形，不断地运用基本图形去发现问题、描述问题、解决问题，这应该也必须成为我们教学中关注的焦点。

相似形的知识有很重要的实用价值，它与人类的生产和生活有着广泛的联系，如测量、绘图、电影、照相等都涉及相似形的知识

教学目标：会运用两对对应角分别相等的两个三角形相似的判定方法说明两个三角形相似；经历观察、比较、归纳的学习过程，探索出“一线三等角”基本图形；运用“一线三等角”基本图形解决问题。

教学重难点：运用“一线三等角”基本图形解决问题

教学过程：

1.课前自主学习

图2

图1

（1）如图1，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，使点F落在AD上．试说明△ABF∽△DFE；                                       
（2） 如图2，在△ABC中，AB=AC，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B.试说明：△ABP∽△PCM.

                                                  

 

 

 

设计意图： 这部分内容是让学生在课前10分钟独立完成的，借助这两个实例引发学生的思考，在说明两个三角形相似的过程中，学生能一方面回顾三角形相似的判定定理，其次也能初步体会到我们这节课要学习的内容“一线三等角”。最后这两个实例的先后是经过慎重考虑的，旨在让学生逐步经历“从特殊到一般”的思维历程，体会我们探究数学实际上并不神秘，也并非高不可攀，从而激发了学生学习的热情，增强了其学好数学的信心。

课堂处理：师：通过课前自主学习，先请同学们谈一谈你是如何解决这两个问题的？

图3

图4

生：如图3，根据“同角的余角相等”我们能得到 ，条件中本身具备 ，这样我们根据“两个三角形的两对角对应相等,这两个三角形相似”就可以得到 ∽

 

 

                                  

师：＊＊同学运用“两个三角形的两对角对应相等,这两个三角形相似”的方法得到了 ∽ ，其实我们不难发现：只要三个直角的三个直角顶点在同一直线上，如图4，我们都能得到这样的两个三角形相似。

图5

图6

生：如图5，根据“三角形内角和”得 ，根据“平角”得 ，所以 ，条件中本身就了具备 ，这样我们根据“两个三角形的两对角对应相等,这两个三角形相似”也可以得到 ∽

 

 

                                              

师：＊＊同学还是运用了“两个三角形的两对角对应相等,这两个三角形相似”的方法得到了 ∽ ，你们发现了吗？有三个“相等”的角的顶点在同一条直线上，如图6，这样的两个三角形都是相似的。如图4，如果这三个角都是直角，结论当然也是成立的。这样的图形我们称为“一线三等角”基本图形。“一线三等角”基本图形是我们几何学习中重要的基本图形之一，用这个基本图形可以建立两个三角形的相似关系，从而得到三角形中线段之间的比例关系，进一步解决所有与之相关的问题。

2.课内深度探究

例题：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化.

例如相似三角形中，“一线三直角”是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：

(1)  请就图①说明上述“模块”的合理性；

（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：

①如图②，已知点A（-2，1），点B在直线y=-2x+3上运动，若∠AOB=90°,求此时点B的坐标；

②如图③，过点A（-2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y=-2x+3于点C、D，求点A关于直线CD对称点E的坐标 .

 

 

 

 

 

设计意图：学生经历了“从特殊到一般”的思维历程，探索出“一线三等角”基本图形：只要三个相等角的顶点在同一直线上，这样构成的两边两个三角形一定相似，如图6。特殊地，如果这三个角都是直角，结论仍成立。本道例题就是让学生再次将“一线三等角”基本图形由一般转为特殊，这时也可称之为“一线三直角”，所以在没有现成基本图形存在的情况下，因为存在“直角”这个特殊的条件，可以引导学生通过“一线三直角”中的“直角”找到基本图形的生长点，为完整基本图形的生成和根植提供了条件。

课堂处理：10分钟学生独立思考探究；5分钟小组合作交流。

讨论要求：1.你是如何利用“模块”解决图②中点B的坐标？

如果没有“模块”的提醒，你还有其他办法解决点B的坐标吗？

          2.找到图③中“模块”的同学交流一下你是如何找到“模块”的？

没有找到“模块”的同学你是否也可以求出点E的坐标呢？

生：这个“模块”类似于我们的英文字母“K”,由于它形状的特殊性，我们就可以分别过点 、点 作 轴的垂线于点 、点 ，如图7，这样就构造出与图①类似的“模块”，从而得到  ∽ ，再由这两个三角形线段之间的比例关系我们就能解决线段 、 的长，从而得到点B的坐标。

生：如果没有这个“模块”的提示，因为要求点 的坐标，我们也可以过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，得到 ∽ ，也可以求出线段 、 的长，从而得到点 的坐标。

图7

图8

图9

 

 

 

 

 

 

师： 同学成功地构造了图①的“模块”，巧妙地运用“一线三等角”基本图形解决了点 的坐标；而 同学也构造了一个图，虽然和我们的“模块”不一样，但它也是“一线三等角”基本图形，你看出来了吗？如图9，有三个直角 、 、 的顶点 、 、 都在直线 轴上，这样构成的两边两个直角三角形一定相似，只不过这个图中点 、点 在 轴的两侧，所以它也是“一线三等角”基本图形。

生：图③中没有完整的“模块”，但我发现在点 处是一个直角，如图10，所以我们可以过点 作 轴的垂线交 延长线于点 ，过点 作 轴垂线交直线 于点 ，这样就构造了“一线三等角”这个“模块”，得到 ∽ ，就能解决线段 、 的长，从而得到点 的坐标。

生：由于“点 是点 关于直线 的对称点”，如果我们连接 ，如图11，就可以得到“ 垂直平分 ”，再过点 作 轴的垂线交 延长线于点 ，这样构造的图虽然和“模块”不一样，但也可找到 ∽ ，从而得到线段 、 的长，解决点 的坐标。

                       

 

 

 

 

图11

图10

师： 同学以“对称”后的直角 为突破口，构造了“一线三等角”这个“模块”；而 同学采用“执果索因”的策略，以“点 是点 通过翻折变换得到的”为突破口，得到相似从而解决 、 的长，得到点 的坐标。

3.当堂检测

（1）如图12， 在平面直角坐标系中，A(0,3),B（4,0），AC⊥AB,AC=10.求点C的坐标 .             

图12

图13

（2）如图13，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=6，∠ABC=60°，点E,F分别在线段AD,DC上（点E与点A,D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x,DF=y.求y与x的函数关系式；当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

 

 

 

          

课堂处理：8分钟独立完成，2分钟校对答案

l        本节课你有什么收获和感受？

l        本节课你有什么疑惑和问题？

l        你能给自己和同伴在本节课的学习作个评价吗？

设计意图：通过师生反思评价，梳理知识，系统归纳，对知识和方法进行总结。

二、设计思路

背景分析：随着中考选拔功能的渐趋增强，综合与实践活动的内涵逐步走进命题者视野，承载着选拔的功能。在《新课标》中对于这部分内容有明确的要求：探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解决问题的意识和能力。同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学学科内部的联系（“综合与实践“在各版本教材中都有相应的教学内容和素材，甚至有些版本教材配套出版有”综合与实践“的补充素材。而在近几年的中考中越来越多的地区都通过相应的试题为载体，对这部分的教与学进行考查。）

过程分析：“综合与实践“是以问题为载体，以学生个体积极参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合应用已有的知识经验、活动经验以及思维惯性经验，经历类此归纳、探究猜想、验证结论并运用结论解释现实问题合理化的过程，实现累积活动经验和获取生命感悟的个性化目标，从而提升学生的问题意识、应用意识、创新意识以及解决现实问题的能力。

这些不同的“综合与实践“活动，可以综合不同年级的学生不同的感受，从而使学生自觉地发现数学学科内部的联系，帮助他们更好建立知识体系。

三、实施建议：组织学生开展综合与实践活动时我们要注意以下几点

（1）    处理好学生独立思考与合作交流的关系

（2）    提高组织学生开展自主探索活动的能力

（3）    给学生自主探索足够的“自由度”

积累数学活动经验，培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标。“综合与实践”是实现这些目标的重要和有效的载体，“综合与实践“的教学,重在实践，重在综合，我们在教学设计和实践时应特别关注问题的选择，问题的展开过程，学生参与的方式，学生的合作交流，活动过程和结果的展示与评价等。