“一线三等角”教学设计

一、教学目标

1、会用“一线三等角”的基本图形解决相似中的相关问题

2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综合解题能力

二、教学重点

 运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。

三、教学难点

“一线三等角”的基本图形的提炼、变式和运用

四、教学设计

（一）类比探究，问题导入：

（1）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。

（2）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=60°，图中有没有相似三角形？并说明理由。

（3）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=120°，图中有没有相似三角形？并说明理由。

设计意图：设计从直角三角形到锐角三角形再到钝角三角形的问题串，目的在于呈现同类的相似三角形，在这个过程中要让学生会说会写每一个问题的证明的过程，这样可以使学生的“直观感受和经验”由“量”变产生“质“变。从问题和模型引入本专题，使学生对产生模型有个感性的认识，为下一环节抽象模型打好铺垫。在此还应该追问：三个图形有什么共同点？目的是引出“一线三等角”的概念。

（二）抽象模型，揭示实质

如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，图中有没有相似三角形，并写出证明过程

结论：图中△ABC∽△ECD

理由：∵∠BCE=∠A+∠B

又∵∠BCE =∠BCD+∠DCE

∴∠A+∠B =∠BCD+∠DCE

又∵∠A=∠BCD

∴∠B=∠DCE

∵∠A=∠E

∴△ABC∽△ECD

设计目的：抽象模型这个环节的目的是让学生的认识从“特殊”的结论上升到“一般”性的结论，这是本节课核心结论的生成的重要阶段，时间安排上可以稍微多花费一点，要求学生写出证明过程，为下面的学习提供帮助，同时让学生对“一线三等角”基本图形的本质理解，在整节课的设计中起承上启下的作用，为下面的运用规律提供理论支持。在总结规律时，要鼓励学生用自己的语言总结出规律，并且老师应适当给予评价以及肯定，这样可以提高学生的表达能力，也为自己数学的学习提供信心。然后总结出“一线三等角”产生相似三角形，给学生以形象易记，加深印象。

（三）运用新知，挑战中考

（2012•天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

设计意图：本题是前面所学知识开始在具体题目中的实际运用，设计上承接了前面的图形，能结合坐标系、比例线段等知识并运用“一线三等角”相似型解决问题。学生可能沿袭前面的习惯，对相似三角形的证明过程容易忽视。强调：总结的规律只是便于同学们找准相似三角形，不能作为相似的依据直接写结论。本环节没有考虑直接拿一些普通的例题，而是直接呈现了中考原题，目的就在于让学生认识到“一线三等角”在中考中的体现，使得学生加深印象，并且建立对中考成功的信心。但是本体只要求学生完成问题（Ⅱ）。

（Ⅱ）解：∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，
∴∠OPB+∠QPC=90°，
∵∠BOP+∠OPB=90°，
∴∠BOP=∠CPQ．
又∵∠OBP=∠C=90°，
∴△OBP∽△PCQ，

∴

由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11-t，CQ=6-m．

（四）小结收获，交流归纳

（1）由“一线三等角”基本图形搭建桥梁可以得到相似三角形。

（2）学习几何最重要是学会归纳一些简单的基本图形，学会从复杂的图形里提炼基本图形，并将其作为解决问题的手段和方法。

（3）几何的学习中，要注重图形的运动和变化，总结和发现图形之间的内在联系，探求其规律，帮我们解决繁杂问题。

设计意图：本节课的所学知识小结起来很明确，贵在让学生悟到几何学习中的基本图形和相关应用，从学习的方法来进行总结。

（五）巩固提高，当堂检测

1、如图，E、F分别是等边三角形的边AB、AC上的点，把三角形AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的D点处，已知BE=4，CF=2，设BD=x,

则DC=         （用关于x的代数式表式）

2、如图，梯形OBCD为等腰梯形，DO=CB=2，DC∥OB，DM⊥OB，

∠DOB=∠DMC =60°，求证：OD²=OM MB

设计意图：设置蛋汤检测的目的在于有效的提高课堂教学效率，达到提高全体学生素质，全面提高课堂教学质量。高效的课堂是全体学生都实现学习目标的课堂，学生之间有差异，实现目标的速度与程序不同，通过落实“学——测——评”，从而实现教与学的协调平衡。同时可以及时回收反馈信息，找到目标差，及时进行补偿教学，确保当堂完成教学任务。在“反馈——矫正”过程中，应该要注意从学生个体发展的角度，注重发现学生的闪光点，并不失时机地运用激励性评价，使反馈性与激励性相统一，有利于学生潜能的自我开发，促进学生自身素质的提高。

（六）教学反思