皮克定理的发现与证明（教学设计）

湖塘实验中学  蒋飞

学习目标：

1.通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理

2.让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验

3.通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法；经历从特殊到一般的过程，体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的科学思维方法。

一、课前自主探索

1.问题情境：在平面上，先画一系列的水平直线和一系列的竖(垂)直直线，使得任意两个相邻的平行线之间的距离均为一个单位，这样就在平面上建立了一个方格网(如图).方格网中的每个交点叫做格点（如左图中的点A、B、C、D、E…）.显然，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)

知识延伸：

如下图a,把多边形的任何一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形.而图b中的多边形不具备这种性质,称为凹多边形

 

 

 

 

2.探索研究

（1）求下列多边形的面积

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（2）我们设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，写出下图中格点多边形的N、L

 

 

 

（3）仿照2中的图在网格纸上画出符合条件的不同格点多边形

①画3个满足条件N=0的格点多边形，求出它们的面积S

②画3个满足条件N=1的格点多边形，求出它们的面积S

③画3个满足条件N=2的格点多边形，求出它们的面积S

二、课内互动学习

1.深度探究

问题：探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系

活动一：探究N=0的格点多边形中S与L之间的关系

图形序号	N	S	L
①
②
③
④
…	…	…	…

 

 

 

 

 

 

 

满足N=0的格点多边形中的S、L之间存在一个什么样的关系，你能表示出来吗？

 

 

活动二：探究N=1的格点多边形中S与L之间的关系

图形序号	N	S	L
①
②
③
④
…	…	…	…

满足N=1的格点多边形中的S、L之间存在一个什么样的关系？

 

 

活动三:探究N=2的格点多边形中S与L之间的关系

图形序号	N	S	L
①
②
③
④
…	…	…	…

 

 

 

 

 

 

 

观察上表，你又有了什么发现？

 

 

活动四：自主探究N=3时S与L之间的关系

1．示范引领：画N=3的格点多边形

2．合作交流：四人一组，画图研究N=3时S与L之间的关系

 

 

活动五：猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S与L之间的关系 

 

 

活动六：归纳分析S、N、L三者关系

活动七：验证所得规律与已有知识相符

活动八：介绍皮克定理

2.当堂检测

1.应用皮克定理求格点多边形的面积求下列多边形的面积

 

 

 

 

 

2.阅读：如下图，每相邻三个点“∵”或“∴”为面积为1的等边三角形，我们把它叫做三角形格点图，这些多边形叫三角形格点多边形，我们这次活动所研究的是正方形格点多边形.

思考：

（1）你能求下列多边形的面积吗？

（2）活动得出的皮克定理在三角形格点多边形内也成立吗？若不成立，试试用同样的探究方法找一找这种多边形的S，N，L之间是否存在一定的数量关系