特殊与一般：格点多边形面积
——“数格点，算面积”的教学及思考
教学设计
内容和内容解析
内容：格点多边形的面积S与多边形内部的格点数N、边上的格点数L之间的数量关系
内容解析：
学生对于计算格点多边形的面积较熟悉，但是对于“皮克公式”这个既实用又有趣的定理不甚了解，本课希望通过学生经历画图、列表、分析数据、探究规律，发现并验证S、N、L三者之间的关系，并且受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究。
教学目标
1、 经历画图、列表、分析数据、探究“皮克公式”
2、 探究正三角开形网格中的类似问题
3、 体会“特殊与一般”之间的辩证关系，获取由“简单到复杂”的探究问题的方法和经验，提高分析问题和解决问题的能力
教学过程
如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这样的多边形叫做格点多边形。
S= S= S=
设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，S、N、L三者之间是否存在数量关系？
操作1：如下图，当N=0时，请你在④中再画出一个的格点多边形，并完成表格
① ② ③ ④
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图形序号 |
S |
N |
L |
|
① |
1 |
0 |
4 |
|
② |
2 |
0 |
6 |
|
③ |
3 |
0 |
8 |
|
④ |
|
|
|
写出S、N、L三者的数量关系：
① ② ③ ④
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图形序号 |
S |
N |
L |
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① |
2 |
1 |
4 |
|
② |
2.5 |
1 |
5 |
|
③ |
|
|
|
|
④ |
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|
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写出S、N、L三者的数量关系：
操作3：请你在下图中画出N=2的格点多边形，并完成表格
① ② ③ ④
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图形序号 |
S |
N |
L |
|
① |
|
|
|
|
② |
|
|
|
|
③ |
|
|
|
|
④ |
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|
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写出S、N、L三者的数量关系：
操作3：请你在下图中画出N=3的格点多边形，并完成表格
① ② ③ ④
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图形序号 |
S |
N |
L |
|
① |
|
|
|
|
② |
|
|
|
|
③ |
|
|
|
|
④ |
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写出S、N、L三者的数量关系：
猜想：一般地，格点多边形的面积S与多边形内部的格点数N、边上的格点数L之间的数量关系是S=
实战演练，链接中考
（2013•常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则
小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：
根据图中提供的信息填表：
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格点多边形各边上的格点的个数 |
格点边多边形内部的格点个数 |
格点多边形的面积 |
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多边形1 |
8 |
1 |
|
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多边形2 |
7 |
3 |
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… |
… |
… |
… |
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一般格点多边形 |
a |
b |
S |
则S与a、b之间的关系为S= a+2（b-1）（用含a、b的代数式表示）．
① ② ③ ④
备用图
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图形序号 |
S |
a |
b |
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① |
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② |
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|
③ |
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|
④ |
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① ② ③ ④
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图形序号 |
S |
a |
b |
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① |
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|
② |
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③ |
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④ |
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链接数学史：
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