圆中的两解问题

江苏省常州市武进区湖塘实验中学         刘梦莲

分类思想是数学的基本思想之一．中考试题中经常设计两解或多解型题，来考察学生思维的严密性，倘若基础知识不扎实，常会造成漏解．初中九年级上册的《圆》是初中阶段的重点内容，而圆中两解问题又是其中的难点，也是中考命题的热点，现归纳如下：
一、点与圆的位置关系

1．点在圆内与圆外的位置不确定

例1 在同一平面内，已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为          ．

 

 

    

             图1                            图2

解析：由于本题未指明点p与圆的位置关系，因此，应分点p在圆内或点p在圆外两种情况来考虑．点p在圆内时，如图1，AP=5，BP=1，AB=AP+BP=5+1=6；所以圆的半径为3；点p在圆外时，如图2，AP=5，BP=1，AB=AP-BP=5-1=4，所以圆的半径为2．    

    对于此类题，扩展到一般情况，已知点P到圆上各点的最大距离为a，最小距离为b，则圆的半径可以分为：点p在圆内时，半径 ；点p在圆外时， ．

2.点在圆弧上的位置不确定              

例2 半径为4的圆内接于△ABC，且圆心0到BC边的距离为2．求∠A的度数．  

 

 

              

                       

                         图3                     图4

解析：∠A是边BC所对的圆周角.其顶点A分两种情况：一是点A在BC边所对的劣弧上(如图3)；二是点A在BC边所对的优弧上(如图4)．

略解：过点O作OD⊥BC,D为垂足.连接OB、OC，易知 ，所以∠A= 或 ．

例3 PA、PC分别切⊙O于A，C两点，B为 ⊙O上与A，C不重合的点，若∠P=50⁰，则∠ABC=           度

解析：由于点B可能在优弧ABC上．也可能在劣弧AC上，有如图5，图6两种可能．所以∠ABC=65⁰或∠ABC=115^0。

 

 

 

 

                  图5                          图6

例4 在⊙O中，AB为直径，CD为弦，AB⊥CD．P为圆周上与C，D不重合的任意一点。判断∠COB与∠CPD的数量关系，并证明你的结论．

 

 

 

 

                图7                              图8

解析：由于点P可能在优优弧CPD上，也可能在劣弧CD上，有如图7，图8两种可能．当P在优弧CPD上时，∠COB=∠CPD：当P在劣弧CD上时，∠COB=180⁰-∠CPD．

二、弦与圆的位置关系

3.两条平行弦与圆心位置不确定

例5 ⊙O的半径为5cm，AB∥CD，AB=6cm,CD=8cm,求AB、CD间的距离.

解析：题中的弦AB、CD都比⊙O的直径小，所以圆心O的位置有可能在两平行弦AB、CD的同侧，

也有可能在弦AB、CD的异侧，如图9、图10两种可能．

利用垂径定理可求出OE=4cm，OF=3cm，所以AB与CD之间的距离为4-3=lcm或4+3=7cm．

 

 

               

                   图9                             图10

4.过圆上一点的两弦与圆心位置不确定

例6 已知：弦 ， ，⊙O的半径为2.求∠BAC的度数．

解析：由于弦AB和CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧，故有如图11、图12两种可能情况．根据垂径定理及解直角三角形知识可求出．         

解：过O点作OE⊥AB，垂足为E，作OF⊥AC，垂足为F，连结OA．

∵AB= ，AC= ，∴由垂径定理，得AF= ,AE= ．             

∴在Rt△AEO中，cos∠EAO= ，∠EAO=45°；

 

 

 

 

 

                  图11                            图12

 在Rt△AFO中，cos∠FAO= ，∠FAO=30°．

(1)当AB、CD在圆心O的两侧时，如图7，∠BAC=∠EAO+∠FAO=75°．

(2)当AB、CD在圆心O的同侧时，如图8，∠BAC=∠EAO-∠FAO=15°；

∴∠BAC度数为75°或15°．

5.直线与圆的位置不确定

例7 ⊙O的直径为6cm，如果直线a上的一点C到点O的距离为3cm，则直线a与⊙O的位置关系是            

 

 

 

 

                     图13                           图14

解析：题中只涉及点C到圆心的距离，并非是圆心到直线的距离．有如图13，图14两种可能，所以直线a与⊙O的位置关系是相切与相交。

 三、两圆的位置关系

6.两圆相切的位置不确定

例8 两圆内切，一圆半径为9，另一圆半径为r，圆心距d=4．则r为多少?

分析：两圆内切，圆心距等于两圆半径之差，由于本题两圆半径大小关系不确定，可能9>r，也可能9<r，所以产生两解．

解：当9>r时，9一r=4，则r=5； 当9<r时，r-9=4，则r=1．故r=5或r=13．

例9 已知：⊙O₁与⊙O₂相切，圆心距d=12, r₁=5,求⊙O₂的半径r₂(r₁＜r₂) .

   解：(1) ⊙O₁与⊙O₂相外切时，d=r₁+r₂，∵d=12, r₁=5,∴r₂=7；

(2) ⊙O₁与⊙O₂相内切时，d=r₂-r₁，∵d=12, r₁=5,∴r₂=17.

 ∴⊙O₂的半径r₂为7或17．

例10  ⊙O₁的半径为2 cm，⊙O₂的半径为5 cm，两圆没有公共点，则两圆的圆心距d的取值范围为            

解析：两圆没有公共点，则⊙O₁与⊙O₂有外离或内含两种情况，外离时，d>7 cm；内含时，

0 cm≤d<3 cm．

7.公共弦与圆心的位置不确定

例11 AB为⊙O₁与⊙O₂的公共弦，⊙O₁的半径r₁=17，⊙O₂的半径r₂=10，AB=16，求△AO₁O₂的周长．

 

 

 

              

                图15                                图16

解：(1) O₁与O₂在AB的两侧，如图15，

∵O₁ O₂垂直平分AB，AB=16，∴AC=8．

∴由勾股定理得：                         

， ．

 ∴O₁O₂=O₁C+O₂C=15+6=2.∴△AO₁O₂的周长=O₁A+O₂A+O₁O₂=17+10+21=48；

(2) O₁与O₂在AB的一侧，如图16，∵O₁ O₂垂直平分AB，AB=16，∴AC=8．∴由勾股定理得： ， .

∴O₁O₂=O₁C-O₂C=15-6=9．∴△AO₁O₂的周长=O₁A+O₂A+O₁O₂=17+10+9=36．

∴综上所述，△AO₁O₂的周长为48或36． 

说明：两圆位置关系是指外离、外切、相交、内切、内含5种情况．

例12  ⊙0₁与⊙0₂相交于A，B两点，⊙0₁的半径为10，⊙0₂的半径为17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距．

 

 

 

             图17                                  图18

思路提示：对两圆相交问题，一些考生往往只考虑两圆的圆心在公共弦两侧的情况，

即图17的情况，很容易遗漏图18的情况，所以正确答案是0₁0₂=21或0₁0₂=9．

    当然，圆中多解的问题不止这些,如直线与圆的位置关系中求弦与圆的位置关系等，这都需要我们在解题时，认真理清题意．特别是那些未给出图形的一些几何问题或运动型问题，在绘图时要尽可能画出所有的情形并逐一进行讨论，以此增强解题的完备性．另外还要加强解题后的反思：此题还有其他情形吗?还有其他解法吗等等，以此提高分析问题，解决问题的能力．